Признак Лейбница

Теорема. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена приравен нулю, т.е., то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена:.

Доказательство. Запишем частичную сумму четного числа членов . В силу первого условия теоремы каждая разность в скобках является положительным числом, и поэтому последовательность частичных суммявляется возрастающей.

С другой стороны, можно представить следующим образом:, отсюда следует, что.

Отсюда, последовательность возрастает и ограничена, значит она имеет предел. При этом из неравенстваследует, что. А так каки, по второму условию теоремы, то.

Любая последовательность частичных сумм ряда сходится к пределу, а это и означает сходимость данного ряда.

Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример . . .

Данный ряд сходится по признаку Лейбница, потому что его члены убывают по абсолютной величине и при.