1.2. Методы Рунге – Кутта
Полагаем, что функция имеет непрерывные частные производные до -го порядка включительно, тогда решение задачи Коши для уравнения (1.1) будет обладать непрерывными производными до -го порядка включительно. Если значение известно в точке , то справедливо равенство
(1.7)
Как уже отмечалось, значения входящих в данную формулу производных вычисляются последовательным дифференцированием уравнения (1.1), что является достаточно трудоемким процессом.
Для сокращения вычислительной работы Рунге предложил искать значение в виде
, (1.8)
где
,
,
,
…
,
; ; – некоторые постоянные параметры.
Формула Эйлера (1.3) представляет собой частный случай формулы (1.7) при , а формулы (1.6) – при .
Рассмотрим вопрос о выборе параметров , , . Для простоты ограничимся случаем . Введем обозначения
. (1.9)
– ошибка, которая имеет место на шаге интегрирования для получения , при известном .
Из выражения (1.7) следует, что
. (1.10)
Учитывая соотношения (1.5), из равенства (1.9) имеем
,
,
Приведенные выше условия (1.10) будут выполняться, если справедлива следующая система равенств
поскольку , , , , , .
Это – система из шести уравнений с восемью неизвестными, имеющая бесконечное множество решений. Наиболее употребительное решение системы (1.16)
, , ,
, ,
, , .
Эти решения порождают следующие расчетные формулы
,
, (1.11)
.
Соответственно,
. (1.12)
Вычислительная схема, реализуемая по формулам (1.11), (1.12) называется методом Рунге-Кутта 3-го порядка.
При получаем наиболее распространенную вычислительную схему метода Рунге-Кутта
(1.13)
где
Еще раз отметим, что на каждом шаге интегрирования по методам Рунге-Кутта, согласно формуле (1.8) имеем локальную точность вычислений порядка .
Рассмотренные методы интегрирования дифференциального уравнения являются одношаговыми. То есть для построения решения на следующем шаге необходимо знать информацию о значении решения только на предыдущем шаге.
Более быстродействующими являются многошаговые методы. Они используют информацию о поведении решения в нескольких предыдущих точках: .
- Калужский филиал
- Численные методы решения дифференциальных уравнений
- Содержание
- Предисловие
- 1. Основные численные методы решения дифференциальных уравнений
- 1.1. Метод Эйлера решения задачи Коши
- 1.2. Методы Рунге – Кутта
- 1.3. Многошаговые методы. Экстраполяционные формулы Адамса
- 1.4. Многошаговые методы. Интерполяционные формулы Адамса
- 1.5. Методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений
- 2. Лабораторная работа № 1 «Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка»
- 3. Лабораторная работа № 2 Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений - го порядка
- 4. Лабораторная работа № 3 Численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- 5. Литература