1.2. Методы Рунге – Кутта

Полагаем, что функция имеет непрерывные частные производные до -го порядка включительно, тогда решение задачи Коши для уравнения (1.1) будет обладать непрерывными производными до -го порядка включительно. Если значение известно в точке , то справедливо равенство

(1.7)

Как уже отмечалось, значения входящих в данную формулу производных вычисляются последовательным дифференцированием уравнения (1.1), что является достаточно трудоемким процессом.

Для сокращения вычислительной работы Рунге предложил искать значение в виде

, (1.8)

где

,

,

,

…

,

; ; – некоторые постоянные параметры.

Формула Эйлера (1.3) представляет собой частный случай формулы (1.7) при , а формулы (1.6) – при .

Рассмотрим вопрос о выборе параметров , , . Для простоты ограничимся случаем . Введем обозначения

. (1.9)

– ошибка, которая имеет место на шаге интегрирования для получения , при известном .

Из выражения (1.7) следует, что

. (1.10)

Учитывая соотношения (1.5), из равенства (1.9) имеем

,

,

Приведенные выше условия (1.10) будут выполняться, если справедлива следующая система равенств

поскольку , , , , , .

Это – система из шести уравнений с восемью неизвестными, имеющая бесконечное множество решений. Наиболее употребительное решение системы (1.16)

, , ,

, ,

, , .

Эти решения порождают следующие расчетные формулы

,

, (1.11)

.

Соответственно,

. (1.12)

Вычислительная схема, реализуемая по формулам (1.11), (1.12) называется методом Рунге-Кутта 3-го порядка.

При получаем наиболее распространенную вычислительную схему метода Рунге-Кутта

(1.13)

где

Еще раз отметим, что на каждом шаге интегрирования по методам Рунге-Кутта, согласно формуле (1.8) имеем локальную точность вычислений порядка .

Рассмотренные методы интегрирования дифференциального уравнения являются одношаговыми. То есть для построения решения на следующем шаге необходимо знать информацию о значении решения только на предыдущем шаге.

Более быстродействующими являются многошаговые методы. Они используют информацию о поведении решения в нескольких предыдущих точках: .