8. Инъективное, сюръективное и биективное отображения множеств, примеры. Изоморфизм групп, примеры.

Пусть X, Y - произвольные непустые множества. Определение. Отображение f из множества X во множество Y - это правило, при помощи которого каждому элементу x∈X ставится в соответствие однозначно определенный элемент y∈Y. Множество Х называется областью определения отображения f; множество Y - его областью значений.

Синонимичные записи f:X→YиX выражают тот факт, что f является отображением из Х в Y. Элемент у∈Y, который при помощи отображения f поставлен в соответствие элементу х∈X, называется образом элемента х и обозначается через f(x); в той же ситуации элемент х называется прообразом элемента у.

Полным прообразом элемента f^-1 у будем называть множество всех прообразов у. Из определения отображения вытекает, что полные прообразы различных элементов не имеют общих элементов. Когда область определения Х и область значений Y данного отображения f совпадают, то f называют преобразованием множества Х. Если А - произвольное подмножество множества Х, то множество f(A) = {y|y = f(x) для некоторого x∈А} называется образом множества А при отображении f. Образ f(X) всей области определения Х называется множеством значений отображения f. Часто область определения и множество значений отображения f обозначают через D(f) и E(f) соответственно. Отображение f из Х в Y называется инъективным, если для любых х1, х2 ∈Х из неравенства х1 ≠ х2 следует неравенство f(x1) ≠ f(x2). Отображение f из Х в Y называется суръективным, если множество значений f(X) совпадает с областью значений Y. Если использовать понятие полного прообраза, то определение можно сформулировать иначе.

Отображение f из Х в Y называется суръективным, если полный прообраз произвольного элемента y∈Y является непустым множеством. Отображение f из Х в Y называется биективным, если оно суръективно и инъективно одновременно. Изоморфизм групп. Две группы G=(S;*) и G’ = (s’;x) называются изоморфными, если найдется взаимно однозначное отображение сохраняющее операцию, т.е. для любых элементов a,b верно перечисленные в п.п 1-3 группы единственные с точностью до изоморфизма группы соответственно из одного двух и трех элементов.