§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

Счетное множество непрерывных на промежутке функцийобразуют на этом промежутке ортогональную систему, если

1. , 2.при.

Пусть – ортогональная система функций на промежуткеи. По аналогии с (1.2) образуем величины

, (3.1)

где .

Числа называются коэффициентами Фурье функцииотносительно ортогональной системы.

Ряд

(3.2)

называется рядом Фурье для функции .

В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре см. (1.1), здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция , ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции линейными комбинациями функций .

Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции другой, близкой к , функцией , более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения

,

или более простой величины

.

Ясно, что чем меньше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций и , тем лучше функцияаппроксимирует функцию .

Определим, при каком наборе коэффициентов линейная комбинация

первых п функций ортогональной системы наилучшим образом аппроксимирует функцию, или, иначе говоря, при какихвеличинапринимает наименьшее значение.

Преобразуем выражение для _п, используя последовательно теорему косинусов, свойство билинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1) для коэффициентов Фурье:

.

Применив тождество , получим

Из последнего выражения сразу следует, что принимает наименьшее значение

, (3.3)

при

Таким образом, именно частичная суммаряда Фурье является наилучшей аппроксимацией функциипо сравнению с другими линейными комбинациями функций

Упражнение. Показать, что, во-первых, система функций ортогональна на промежутке, и, во-вторых, системы функцийиортогональны на промежутке .

Указание. Воспользоваться свойствами скалярного произведения функций.