§ 11. Сходимость интеграла Фурье

Пусть функция определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке –L, L заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

, (11.1)

где

; (11.2)

–частота k-й гармоники; .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

. (11.3)

При величина. Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функциипо переменной в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу привместо ряда получим интеграл

. (11.4)

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке, т.е. интегралсходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всехх из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.