1 .3. Типы особых точек и фазовые траектории линейных систем

Рассмотрим линейную систему, движение в которой описывается уравнением:

Решим уравнение (1.8) относительно старшей производной

Введем новую переменную

,=

Разделим (1.10) на (1.11) и получимдифференциальное уравнение (ДУ) фазовых траекторий

Решение y = f(x) этого ДУ определяет собой некоторое семейство интегральных кривых на фазовой плоскости (x,y), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной. Совокупность интегральных кривых (фазовый портрет) представляет собой все возможные фазовые траектории, а значит все возможные виды переходных процессов в замкнутой САУ при различных начальных условиях. .

В точках, соответствующих установившемуся состоянию ( x=0, y=0), получаем согласно уравнению (1.12) выражение

то есть неопределенное направление касательных к интегральным кривым. Эти точки называют особыми и они классифицируются, т.е. им присвоены названия.

Уравнению (1.8) соответствуют корни характеристического уравнения

(1.14)

В зависимости от знаков и величины коэффициентов a₁ и а₂ возможны шесть случаев корней характеристического уравнения и соответствующих им фазовых траекторий.

Рассмотрим эти случаи подробнее:

1. a₁=0, a₂>0 – корни чисто мнимые.

Линейная система на границе устойчивости (в системе возникают незатухающие колебания).

2. a₁>0, a₂>0, дискриминант D<0 – корни комплексные с отрицательными вещественными частями. Линейная система устойчива, процессы колебательные, затухающие.

3. a₁<0, a₂>0, дискриминант D<0 – корни комплексные с положительными вещественными частями.

Линейная система неустойчива, процессы колебательные расходящиеся.

4. a₁>0, a₂>0, дискриминант D>0 – корни вещественные, отрицательные. Линейная система устойчива, процессы апериодические.

5. a₁<0, a₂>0, дискриминант D>0 – корни вещественные, положительные. Линейная система неустойчива, процессы апериодические.

6. a₁>0, a₂<0, D>0 – корни вещественные, разных знаков. Линейная система неустойчива, процессы апериодические.

Рассмотрим фазовые траектории для каждого случая в отдельности.

1. Если рассматривать движение от оси абсцисс, то можно записать ,, а величиныА и определяются начальными условиями.

A

Незатухающим колебаниям в системе (рис.1.3.1а) соответствует движение изображающей точки М (рис.1.3.1б) по замкнутым траекториям эллиптического вида.

Точка О (x=0; y=0) – особая точка, центр.

2. Корни комплексные с отрицательными вещественными частями

О

Рис. 1.3.2 а

Рис. 1.3.2 б

А₁> А₂>…> А_n

Затухающим колебаниям (рис.1.3.2а) в системе на фазовой плоскости (рис.1.3.2.б) соответствуют спиралевидные траектории, по которым изображающая точка стремится к началу координат. Точка О – особая точка – устойчивый фокус.

3. Корни комплексные с положительными вещественными частями.

О

Рис. 1.3.3 а

Расходящимся колебаниям в системе на фазовой плоскости соответствуют спиралевидные траектории, по которым изображающая точка удаляется от начала координат. Особая точка О – неустойчивый фокус.

4. Корни вещественные, отрицательные.

Переходные процессы апериодические двух типов: монотонные (1) и с перерегулированием (2).

y=₂x

Монотонные процессы получаются при выполнении условий:

Соответствующие им фазовые траектории имеют вид прямых линий (рис.1.3.4б).

Особая точка О – устойчивый узел.

Фазовые траектории, имеющие точку равновесия в виде устойчивого узла, соответствуют апериодическому затухающему переходному процессу.

5. Корни вещественные, положительные.

y=₂x

Выражения такие же, как в предыдущем случае, только α меняет знак

Движение изображающей точки направлено от точки равновесия системы к бесконечной удаленной точке фазовой плоскости. В этом случае положение равновесия системы неустойчивое.

Особая точка О – неустойчивый узел.

6

M

Процессы апериодические неустойчивые (рис.1.3.6а).

Рис. 1.3.6 б

Где С- постоянная интегрирования.

Фазовые траектории имеют вид гипербол. О

Рис. 10

Седло всегда неустойчиво.