Группу самосовмещений тела, известного под названием «двойной правильной n-угольной пирамиды» или n-угольного диэдра.

Доказательство

Это тело состоит из правильной n-угольной пирамиды и ее зеркального отражения в плоскости основания.

Докажем, что группа самосовмещений диэдра состоит из следующих элементов: 1) поворотов вокруг оси пирамиды (на углы ); 2) так называемых опрокидываний, т. е. поворотов на угол вокруг каждой из осей симметрии «основания диэдра», т. е. правильного многоугольника, являющегося общим основанием обеих пирамид, составляющих диэдр. Таких осей симметрии имеется, как мы видели, n, так что перемещений второго рода имеется тоже п. Число всех полученных перемещений есть, таким образом, 2п. Чтобы убедиться в том, что (за исключением случая п = 4) не имеется никаких других перемещений, переводящих n-угольный диэдр в самого себя, заметим прежде всего, что в случае всякое совмещение диэдра с самим собой должно либо оставлять на месте точки S и S' (самосовмещения первого рода), либо менять их местами (самосовмещения второго рода). Далее, основание диэдра должно переходить при таком перемещении в самого себя. Заметим, наконец, что произведение (т. е. последовательное осуществление) двух самосовмещений первого рода дает самосовмещение первого рода, произведение самосовмещений первого рода с самосовмещениями второго рода дает самосовмещение второго рода, а произведение двух самосовмещений второго рода дает самосовмещение первого рода. При этом произведение двух самосовмещений, из которых одно — первого, а другое — второго рода, зависит от порядка сомножителей: если а — самосовмещение первого, а b — самосовмещение второго рода, то . Рассмотрим сначала самосовмещения первого рода. При таких самосовмещениях основание переходит в само себя, оставаясь в своей плоскости; оно испытывает, таким образом, поворот на один из углов:

.

Таким образом, и все перемещение диэдра оказы­вается поворотом вокруг оси диэдра на тот же угол. Итак, самосовмещений первого рода имеется (вклю­чая тождественное самосовмещение, т. е. покой) ровно п. Эти самосовмещения суть не что иное, как повороты диэдра вокруг его оси на углы

.

Пусть дано некоторое вполне определенное самосовмещение второго рода, т. е. такое самосовмещение диэдра с самим собой, при котором вершины S и S' меняются местами. Произведем после данного самосовмещения второго рода некоторое вполне определенное опрокидывание диэдра, т. е. перемещение, заключающееся в повороте диэдра на угол вокруг одной какой-нибудь, раз навсегда выбранной, оси симметрии основания. Получим самосовмещение первого рода (так как этот поворот есть самосовмещение второго рода, а произведение двух самосовмещений второго рода есть самосовмещение первого рода), т. е. поворот диэдра вокруг его оси. Итак, всякое самосовмещение второго рода переходит после одного и того же опрокидывания в некоторое самосовмещение первого рода. Отсюда следует легко: всякое самосовмещение второго рода можно получить, производя (до или после некоторого самосовмещения первого рода) одно и то же опрокидывание. Отсюда, далее следует,что число самосовмещений второго рода равно числу самосовмещений первого рода.т. е. п. С другой стороны, ясно, что все опрокидывания являются самосовмещениями второго рода. Так как этих опрокидываний имеется ровно п, то ими, очевидно, и исчерпывается вся совокупность самосовмещений второго рода. Итак, доказали следующее: группа самосовмещений п-угольного диэдра есть некоммутативная группа порядка 2n, состоящая из п поворотов вокруг оси диэдра SS' и из п опрокидываний, т. е. поворотов на угол вокруг осей симметрии основания диэдра. Все п опрокидываний получаются умножением одного из них на п поворотов диэдра вокруг его оси SS'.

Так как все повороты диэдра вокруг его оси получаются умножением с самим собой одного поворота — именно, поворота на угол — , то группа всех самосовмещений имеет систему образующих из двух элементов: поворота на угол и одного какого-нибудь опрокидывания. Случай п = 4 является особым потому, что частным случаем четырехугольного диэдра является октаэдр, допускающий не 8, а как увидим ниже (в примере групп ), 24 самосовмещения. Это объясняется тем, что при самосовмещении некоторых четырехугольных диэдров, а именно правильных октаэдров, вершина S может совмещаться не только с вершиной S', но и с каждой из вершин основания. Одно из необходимых для этого условий — одинаковое число граней (а также и ребер), примыкающих к каждой вершине, выполнено, очевидно, в случае любого четырехугольного диэдра. В случае правильного октаэдра и все углы, телесные и плоские, при любых двух вершинах оказываются соответственно равными так же, как и сами грани и ребра.