Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

(а) Пусть две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

А₁х+В₁у + С₁=0 и А₂х+В₂у+ С₂ = 0.

Так как нормальным вектором прямой L₁ является вектор n₁ = (А₁, В₁), а нормальным вектором прямой L₂ является вектор n₂ = (А₂, В₂), то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла φ между векторами n₁ и n₂ .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов n₁ и n₂ и их скалярного произведения получим

(6.12)

Итак, угол φ между прямыми L₁ и L₂ определяется с помощью формулы (6.12).

Условие параллельности прямых L₁ и L₂, эквивалентное условию коллинеарности векторов n₁ и n₂, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е.

(6.13)

Условие ортогональности прямых L₁ и L₂ может быть получено из формулы (6.12) (при cosφ=0) или выражено равенством нулю скалярного произведения (n₁· n₂ ). Оно имеет вид

A_lA₂ + B₁B₂ = 0. (6.14)

(б) Пусть теперь две прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

Так как направляющими векторами прямых L₁ и L₂ служат векторы q₁ = (l₁,m₁) и q₂ = (l₂,m₂),то по аналогии со случаем (а) мы получим:

1. формулу для угла φ между прямыми L₁ и L₂

(6.15)

2. условие коллинеарности (параллельности) прямых L₁ и L₂

(6.16)

3. условие ортогональности (перпендикулярности) прямых L₁ и L₂

l_ll₂ + m₁m₂ = 0. (6.17)

(в) Пусть, наконец, две прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом

и

Если α₁ и α₂ - углы наклона прямых L₁ и L₂ к оси Ox, a φ — один из углов между этими прямыми, то из элементарных соображений (см. рис.) вытекает, что

φ = α₁ - α₂

Таким образом,

И мы получаем следующую формулу для определения угла φ:

(6.18)

Если в этой формуле поменять местами k₁ и k₂ (от чего фактически лишь изменится знак на противоположный), то эта формула определит нам другой угол между прямыми, смежный по отношению к прежнему углу (эти два угла в сумме составляют π и тангенсы их отличаются лишь знаком).

Прямые параллельны, когда тангенс угла между ними равен нулю, т.е. условие параллельности имеет вид

k₁ = k₂ (6.19)

(при этом числитель в (6.18) равен нулю, а знаменатель строго положителен).

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ также можно получить из (6.18). Оно отвечает случаю, когда тангенс угла φ не существует, т.е. случаю обращения знаменателя формулы (6.18) в нуль:

k₁k₂ + 1 = 0.

И условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ примет вид

k₁ = -1/k₂ (6.20)

Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой. Рассмотрим прямую L. Проведем через начало координат О прямую n, перпендикулярную L, и обозначим буквой Р точку пересечения указанных прямых (см. рис.). На прямой n возьмем единичный вектор n, направление которого совпадает с направлением отрезка (в случае совпадения точек О и Р направление n выберем произвольно).

Наша цель — выразить уравнение прямой L через два параметра: р - длину отрезка и угол θ между вектором n и осью Ох.

Так как n — единичный вектор, то его координаты, равные его проекциям на оси координат, имеют вид

n = (cosθ, sin θ). (6.21)

Очевидно, точка М(х,у) лежит на рассматриваемой прямой L тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором n, равна р, т.е. при условии

Pr_n = р. (6.22)

Так как n — единичный вектор, то в силу определения скалярного произведения

Pr_n = (6.23)

Поскольку а вектор n определяется равенством (6.21), мы получим следующее выражение для скалярного произведения этих векторов:

(6.24)

Сопоставляя (6.22), (6.23) и (6.24) получим, что точка М(х, у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению

(6.25)

(6.25) и есть искомое уравнение прямой L (выраженное через два параметра: θ и р). Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.

Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произвольной точки М от данной прямой L. Пусть число d обозначает расстояние от точки М до прямой L. Назовем отклонением δ точки М от прямой L число +d случае, когда точка М и начало координат О лежат по разные стороны от прямой L, и число -d в случае, когда М и О лежат по одну сторону от L.

Если же начало координат О лежит на прямой L, мы положим отклонение равным +d в случае, когда М лежит по ту сторону от L, куда направлен вектор n, и равным -d в противном случае.

Выясним геометрический смысл левой части уравнения (6.25) при любых х и у.

Теорема 6.1. Левая часть нормированного уравнения прямой (6.25) равна отклонению точки М с координатами (х, у) от прямой L, определяемой уравнением (6.25).

Доказательство. Спроецируем точку М на ось, определяемую вектором n. Пусть Q — проекция точки М. Отклонение δ точки М от прямой L равно PQ, где PQ обозначает величину направленного отрезка PQ оси, определяемой вектором n.

Далее, из рисунка видно (см. рис.), что

(6.26)

Но OQ = Pr_n , а она, в силу формул (6.23) и (6.24), равна А потому,

OQ = (6.27)

Сопоставляя формулы (6.26) и (6.27), получим

δ = (6.28)

Теорема доказана.

Эта теорема дает следующее правило: для нахождения отклонения δ точки М(х₀, у₀) от прямой L следует в левую часть нормированного уравнения прямой L подставить на место х и у координаты х₀ и у₀ точки М.

Это правило позволяет отыскивать и расстояние от точки М до прямой L, поскольку расстояние равно модулю отклонения.

В заключение рассмотрим алгоритм приведения общего уравнения прямой к нормированному виду (6.25).

Так как общее уравнение и уравнение (6.25) должны определять одну и ту же прямую, то найдется число λ такое, что

(6.29)

Возводя в квадрат первые два равенства и складывая их, получим

λ²(A² + B²) = 1,

откуда

(6.30)

Остается уточнить, какой из знаков ± следует взять в формуле (6.30). Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно, то из третьего равенства (6.29) заключаем, что знак λ противоположен знаку С.

Поэтому, для приведения общего уравнения прямой к нормированному виду (6.25) следует умножить его на нормирующий множитель (6.30), знак которого противоположен знаку С.

Уравнение пучка прямых. Совокупность прямых, лежащих на плоскости π, проходящих через некоторую точку S этой плоскости, называется пучком прямых с центром в S.

Центр S пучка прямых полностью определяется заданием двух различных прямых этого пучка. Зная центр пучка S(x₁,y₁), легко написать уравнение любой прямой этого пучка: для этого можно, например, использовать уравнение (6.11) прямой, проходя­щей через точку S(x₁,y₁) и имеющей заданный угловой коэффициент k. Однако при решении задач представляется удобным уметь писать уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых, не вычисляя координат этой точки пересечения.

Рассмотрим задачу о нахождении уравнения пучка прямых, центром которого служит точка пересечения двух данных прямых, определяемых уравнениями

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂x+В₂y+ С₂ = 0.

Докажем теорему.

Теорема 6.2. Если А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂x+В₂y+ С₂ = 0 уравнения двух различных прямых, пересекающихся в некоторой точке S, а α и β — любые, не равные одновременно нулю числа, то

α(А₁х + В₁у + С₁) + β(А₂х + В₂у + С₂) = 0 (6.31)

есть уравнение прямой, проходящей через точку S. Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через точку S прямая, она определяется уравнением (6.31) при некоторых значениях α и β.

Доказательство. Прежде всего убедимся, что при любых α и β, не равных одновременно нулю, равенство (6.31) представляет собой уравнение первого порядка (т.е. в этом равенстве хотя бы один из коэффициентов при х или при у не равен нулю). Собирая в равенстве (6.31) коэффициенты при х и у, перепишем это равенство в виде

(α А₁ + β А₂)х+( α В₁ + β B₂)у + (α С₁+ β С₂) = 0 (6.32)

Если бы имели место равенства

α А₁ + β А₂ =0 и α В₁ + β B₂ = 0,

то из этих равенств, предполагая, например, что α ≠0, мы получили бы

А₁/А₂ = -β/α, В₁/В₂ = -β/α,

то есть

A₁/A₂ = B₁/B₂.

Это равенство представляет собой условие коллениарности прямых, определяемых уравнениями А₁х+В₁у+ С₁ = 0 и А₂х+В₂y+С₂ = 0, и оно противоречит предположению о том, что эти прямые пересекаются и не совпадают.

Поэтому (6.31) при любых α и β, не равных одновременно нулю, представляет собой уравнение первой степени, определяющее некоторую прямую.

Эта прямая заведомо проходит через точку S (x₀, у₀) пересечения двух прямых, определяемых уравнениями

А₁х + В₁у+ С₁ =0 и А₂+ В₂у+ С₂ = 0.

В самом деле, так как S(x₀, y₀) принадлежит каждой из двух указанных прямых, то справедливы равенства

А₁х₀ + В₁у₀ + С₁ =0 и А₂х₀ + В₂у₀+ С₂ = 0,

из которых вытекает, что при любых α и β

α (А₁х₀+В₁у₀+ С₁ ) + β (А₂х₀+В₂y₀+С₂₎ = 0

т.е. координаты х₀ и у₀ точки S удовлетворяют уравнению (6.31).

Остается доказать, что, какова бы ни была наперед заданная проходящая через точку S прямая, она определяется уравнением (6.31) при некоторых α и β. Наперед заданная проходящая через точку S(x₀, у₀) прямая однозначно определяется заданием еще одной отличной от S точки М*(х*,у*), ей принадлежащей. Таким образом, достаточно доказать, что не равные одновременно нулю α и β можно выбрать так, что координаты х*, у* наперед заданной точки М* будут удовлетворять уравнению (6.31) при этих α и β. Подставляя в (6.31) вместо х и у координаты х* и у* точки М*, получим равенство

α (А₁х*+В₁у*+ С₁ ) + β (А₂х*+В₂y*+С₂ )= 0 (6.33)

Прежде всего заметим, что (6.33) представляет собой уравнение относительно α и β. В самом деле, оба выражения в круглых скобках, являющиеся коэффициентами при α и β, обратиться в нуль не могут, ибо это означало бы, что две прямые, определяемые уравнениями А₁х + В₁у+ С₁ = 0 и А₂х+В₂у+ С₂ = 0, проходят через точку М*. Это невозможно в силу того, что эти прямые не совпадают и проходят через точку S, отличную от М*. Поэтому хотя бы одна из круглых скобок в (6.33) отлична от нуля. Пусть, например, А₁х* + В₁у* + C₁ ≠ 0. Тогда, задав произвольно β ≠ 0, мы определим из уравнения (6.33) коэффициент α:

При указанных α и β прямая, определяемая уравнением (6.31), проходит через точку М*(х*, у*). Случай, когда отлична от нуля вторая из круглых скобок в (6.33), рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Так как в уравнении пучка (6.31) хотя бы одно из чисел α и β отлично от нуля, то можно записывать уравнение пучка не с двумя коэффициентами α и β, а с одним коэффициентом λ, равным их отношению. Так, если отлично от нуля α, то, поделив (6.31) на α и положив λ = β / α, мы получим уравнение пучка в виде

(А₁х+В₁у+ С₁) + λ(А₂х+В₂у+ С₂) = 0. (6.34)

Следует отметить, что уравнение (6.34) содержит все прямые, проходящие через точку пересечения прямых, определяемых уравнениями А₁х+ В₁у+ С₁ = 0 и А₂х+ В₂у+С₂ = 0, за исключением одной прямой — прямой, определяемой уравнением А₂х + В₂y+ С₂ = 0 (она не получится из (6.34) ни при каком λ).

Лекция 7

Задачи на прямую линию на плоскости

Мы уже рассмотрели ряд задач на прямую линию на плоскости (нахождение угла между двумя прямыми, условия параллельности и ортогональности двух прямых, вычисление отклонения и расстояния точки от прямой, нахождение уравнения прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых).

Сейчас мы рассмотрим задачи, развивающие материал предыдущего параграфа.

Нахождение прямой, проходящей через данную точку М₁(х₁, у₁) и составляющей заданный угол φ с данной прямой y = k₁x+b₁. Будем искать уравнение прямой, проходящей через точку М₁(х₁,у₁) и составляющей заданный угол φ с прямой, определяемой уравнением y = k₁x+b₁ в форме (6.10):

у-у₁ = k(х- х₁).

Прямая (6.10) проходит через точку М₁(х₁,y₁), и нам остается выбрать ее угловой коэффициент, чтобы она составляла угол φ с прямой y = k₁x+b₁.

Замечание. Взяв уравнение искомой прямой в виде (6.10), мы исключаем из рассмотрения прямую х = х_1, проходящую через точку М₁(х₁,у₁) и перпендикулярную оси Ох.

Так как искомая прямая у = kх+(у₁ - kх₁) и прямая y = k₁x+b₁ составляют угол φ, то в силу формулы (6.18)

Откуда определяем угловой коэффициент к искомой прямой: и потому, при (1 ± k₁ tg φ) ≠ 0 получим

( ±tgφ)/(1 tgφ) (7.1)

В случае, если знаменатель в формуле (7.1) обращается в нуль, угловой коэффициент не существует, и искомую прямую следует определять уравнением х = х₁.

Окончательно получаем уравнения двух искомых прямых в виде

Нахождение биссектрис углов, образованных данными прямыми. Запишем уравнения двух прямых в нормированном виде. Пусть это будут

.

Левые части этих уравнений равны отклонениям δ₁ и δ₂ точки М(х, у) соответственно от первой и от второй прямых. На одной из биссектрис (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны и по модулю, и по знаку, на другой биссектрисе отклонения δ₁ и δ₂ равны по модулю и противоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых бис­сектрис имеют вид

Условие пересечения трех прямых в одной точке. Найдем условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три прямые, определяемые уравнениями

А₁х+В₁у + С₁ =0, А₂х+В₂y+С₂ = 0 и А₃х+ В₃у+ С₃ = 0,

пересекались в одной и только в одной точке.

Так как мы ищем условия, при которых точка пересечения только одна, то необходимо предполагать, что из трех данных прямых какие-нибудь две прямые пересекаются в одной точке (ибо в противном случае у трех прямых либо вовсе не будет точек пересечения, либо будет их бесконечно много). Таким образом, необходимо требовать, чтобы из трех определителей второго порядка

(7.2)

хотя бы один был отличен от нуля.

Предположим, что первые две из указан­ных трех прямых пересекаются в одной точке (т.е. предположим, что отличен от нуля первый из определителей (7.2)). Тогда, для того чтобы три прямые пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы третья прямая A₃x+B₃y+С₃=0 принадлежала пучку, образованному первыми двумя прямыми

α (А₁х+В₁у+ С₁ ) + β (А₂х+В₂y+С₂₎ = 0

Поэтому найдется некоторое число (обозначим его -γ) такое, что все коэффициенты последнего уравнения равны соответствующим коэффициентам уравнения A₃х+B₃y+С₃=0, умноженным на это число, т.е.

или

Последние равенства представляют собой однородную систему трех уравнений относительно трех неизвестных α, β и γ. Так как образующие пучок коэффициенты α и β не равны нулю одновременно, то указанная система обязана иметь нетривиальное реше­ние, для чего необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы

(7.3)

был равен нулю.

Итак, для того чтобы три прямые, определяемые уравнениями А₁х+В₁у + С₁ =0, А₂х+В₂y+С₂ = 0 и А₃х+ В₃у+ С₃ = 0, пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель (7.3) и был отличен от нуля хотя бы один из определителей (7.2).

Мы пришли к этому утверждению, предположив, что первые две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке. К этому же результату приводит и предположение о том, что пересекаются в одной точке любые другие две из указанных трех прямых.