Виды уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости. Докажем два утверждения.

1°. Если в пространстве задана произвольная плоскость π и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуz, то плоскость π определяется в этой системе уравнением первой степени.

2°. Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Охуz, то всякое уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z определяет относительно этой системы плоскость.

Для доказательства первого утверждения достаточно установить, что плоскость π определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной системы, ибо тогда она определяется уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы (в силу теоремы 5.2). Расположим оси Ох и Оу в плоскости π, а ось Oz направим перпендикулярно этой плоскости. Тогда уравнением плоскости π будет уравнение первой степени z = 0. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на плоскости π, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на плоскости π. Утверждение 1° доказано.

Для доказательства утверждения 2° фиксируем произвольную декартову прямоугольную систему Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени

Ax+By+Cz+D=0, (7.4)

в котором А, В, С и D — какие угодно постоянные, причем из постоянных А, В и С хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение (7.4) заведомо имеет хотя бы одно решение х₀, у₀, z₀, т.е. существует хотя бы одна точка М₀(х₀, у₀, z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (7.4):

Ax₀ + By₀+Cz₀ + D = 0. (7.5)

Вычитая из уравнения (7.4) тождество (7.5), получим уравнение

А(х – х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0, (7.6)

эквивалентное уравнению (7.4). Достаточно доказать, что уравнение (7.6) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Мы докажем, что уравнение (7.6) (а стало быть, и уравнение (7.4)) определяет плоскость π, проходящую через точку М₀(х₀, y₀, z₀) и перпендикулярную вектору n = (А, В, С) (так как хотя бы одна из постоянных А, В и С не равна нулю, то вектор n ненулевой).

В самом деле, если точка М(х, у, z) лежит на указанной плоскости π, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.6), ибо в этом случае векторы n = (А, В, С) и = (х-х₀, у-у₀, z-z₀) ортогональны и их скалярное произведение

А(х-х₀) + В(у- у₀) +С(z- z₀) (7.7)

равно нулю. Если же точка М(х, у, z) не лежит на указанной плоскости π, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (7.6), ибо в этом случае векторы n и не ортогональны и поэтому их скалярное произведение (7.7) не равно нулю. Утверждение 2° доказано.

Определение. Уравнение (7.4) с произвольными коэффициентами А, В, С и D такими, что из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Мы доказали, что плоскость, определяемая общим уравнением (7.4), ортогональна к вектору n = (А, В, С). Этот вектор будем называть нормальным вектором плоскости (7.4).

Заметим, что если два общих уравнения

Ax + By+Cz +D= 0, A₁x + B₁y+C₁z +D₁= 0.

определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число λ, что справедливы равенства

A₁=λA, B₁ =λB, C₁ = λC, D₁ =λD,

т.е. коэффициенты А₁, В₁, С₁, и D₁ второго уравнения равны соответствующим коэффициентам А, В, С и D первого уравнения, умноженным на некоторое число λ.