Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.

Две прямые в пространстве L₁ и L₂ могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными; 3) скрещиваться. В первых двух случаях прямые L₁ и L₂ лежат в одной плоскости.

Установим условие принадлежности одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями

Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора , q₁ = (l₁, m₁, n) и q₂ = (l₂, m₂, n₂) были компланарны, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов равнялось нулю. Записывая смешанное произведение этих трех векторов в координатах, приходим к необходимому и достаточному условию принадлежности двух прямых L₁ и L₂ одной плоскости

(7.31)

Если прямые L₁ и L₂ удовлетворяют условию (7.31), то они либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид (7.29), то для пересечения прямых L₁ и L₂ необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию (7.31) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость π, заданную общим уравнением , и прямую L, заданную каноническими уравнениями

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью π является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q = (l, m, n) и нормальным вектором плоскости n = (А, В, С) (см. рис.), то из определения скалярного произведения cos ψ и

из равенства мы получим для определения угла φ между прямой L и плоскостью π следующую формулу:

Условие параллельности прямой L и плоскости π (включающее в себя принадлежность L к π) эквивалентно условию перпендикулярности векторов n и q и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов:

(7.32)

Условие перпендикулярности прямой L и плоскости π эквивалентно условию параллельности векторов n и q и выражается пропорциональностью координат этих векторов:

Условия принадлежности прямой плоскости . Эти условия выражаются двумя равенствами:

Ax₁ + By₁+Cz₁ + D = 0, (7.33)

первое из которых означает, что точка М₁(х₁,у₁,z₁), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть условие параллельности прямой и плоскости (7.32).

Связка прямых. Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку М₁(х₁,у₁,z₁), называется связкой прямых (с центром в точке М₁). Легко убедиться в том, что уравнения связки прямых с центром в точке М₁(х₁,у₁,z₁) имеют вид

(7.34)

где l, m и n — какие угодно числа, не равные одновременно нулю.

В самом деле, всякая прямая, определяемая уравнениями (7.34), проходит через точку М₁(х₁,у₁,z₁). С другой стороны, если L — наперед заданная прямая, проходящая через точку М₁(х₁,у₁,z₁), то эта прямая однозначно определяется заданием, кроме точки М₁(х₁,у₁,z₁), еще направляющего вектора q = (l, m, n) и потому определяется каноническими уравнениями (7.24), совпадающими с уравнениями (7.34).

Задачи на прямую и плоскость в пространстве

Условие пересечения трех плоскостей в одной и только в одной точке. Для того чтобы три плоскости, определяемые уравнениями

A₁x + B₁y+C₁z + D₁ = 0

A₂x + B₂y+C₂z + D₂ = 0 (7.35)

A₃x + B₃y+C₃z + D₃ = 0

пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы был отличен от нуля определитель

(7.36)

В самом деле, в этом и только в этом случае система (5.62) имеет единственное решение.

Уравнения прямой, проходящей через данную точку М₁(х₁,у₁,z₁) и перпендикулярной данной плоскости Ах + Ву+ Cz +D = 0.

Эти уравнения имеют вид

поскольку направляющим вектором искомой прямой служит нормальный вектор плоскости n = (А, В, С).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀,z₀) и параллельной заданной плоскости А₁х + В₁у + С₁z + D = 0. Это уравнение имеет вид

В самом деле, точка М₀ принадлежит искомой плоскости и ее нормальный вектор коллинеарен нормальному вектору заданной плоскости n = (А₁, В₁, С₁), а значит скалярное произведение ( , n)=0.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М₀(х₀,у₀,z₀) и перпендикулярной заданной прямой

.

Это уравнение имеет вид

В самом деле, искомая плоскость имеет в качестве нормального вектора направляющий вектор заданной прямой q =(l, m, n).

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую

и через заданную не лежащую на этой прямой точку М₀(х₀,у₀,z₀). Поскольку точка М₁(х₁,у₁,z₁) принадлежит и заданной прямой и искомой плоскости

Ax + By+Cz + D = 0,

а точка М₀(х₀,у₀,z₀) принадлежит плоскости, то справедливы соотношения

Ax₁ + By₁+Cz₁ + D = 0 и Ax₀ + By₀+Cz₀ + D = 0,

или

Запишем условие ортогональности направляющего вектора q =(l, m, n) и вектора нормали к плоскости n = (А, В, С), получим следующее равенство:

Точка М₀(х₀,у₀,z₀) по условию не лежит на данной прямой. Это означает, что нарушается хотя бы одна из пропорций

поэтому из системы два из коэффициентов А, В, С можно определить через третий. Выбрав затем произвольно этот третий коэффициент (например, положив его равным единице), мы получим уравнение искомой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую

и параллельной другой данной прямой

Пусть — уравнение искомой плоскости. Используя условия принадлежности данной прямой к искомой плоскости, получим

,

Кроме того, используя условие параллельности искомой плоскости и второй данной прямой, получим

.

В результате получим систему трех уравнений

из которой три из коэффициентов А, В, С, D могут быть выражены через четвертый (в силу того, что две данные прямые не параллельны и нарушается хотя бы одна из пропорций

,

получим, что хотя бы один из определителей третьего порядка матрицы

отличен от нуля, и поэтому три из коэффициентов А, В, С, D можно выразить через четвертый). Положив указанный четвертый коэффициент равным единице, мы получим уравнение искомой плоскости.