Виды уравнения прямой на плоскости

Общее уравнение прямой. Докажем, что если на плоскости π задана произвольная прямая линия L и фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то прямая L определяется в этой системе уравнением первой степени.

Достаточно доказать, что прямая L определяется уравнением первой степени при каком-то одном специальном выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости π, ибо тогда она будет определяться уравнением первой степени и при любом выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости π (в силу теоремы 5.1). Направим ось Ох вдоль прямой L, а ось Оу перпендикулярно к ней. Тогда уравнением прямой будет уравнение первой степени у = 0. В самом деле, этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на прямой L, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на прямой L.

Утверждение доказано.

Докажем теперь, что если на плоскости π фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет относительно этой системы прямую линию.

В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система Оху и задано уравнение первой степени

(6.1)

в котором А, В и С — произвольные постоянные, причем из постоянных А и В хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение (6.1) заведомо имеет хотя бы одно решение х₀,у₀. В самом деле, поскольку А и В одновременно не равны нулю (пусть, например, В≠0), то, взяв произвольное х₀, мы получим из уравнения (6.1)

т.е. существует хотя бы одна точка М₀(х₀,у₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (6.1):

Ах₀ + Ву₀ + С=0. (6.2)

Вычитая из уравнения (6.1) тождество (6.2), мы получим уравнение

А(х-х₀) + В(у-у₀) = 0, (6.3)

эквивалентное уравнению (6.1). Достаточно доказать, что уравнение (6.3) определяет относительно системы Оху некоторую прямую. Докажем, что уравнение (6.3) (а стало быть, и (6.1)) определяет прямую L, проходящую через точку М₀(х₀, у₀) и перпендикулярную вектору n = (А, В) (так как A и В одновременно не равны нулю, то вектор n ненулевой).

В самом деле, если точка М (х, у) лежит на указанной прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (6.3), ибо в этом случае векторы n=(А, В) и ортогональны и их скалярное произведение

А(х - х₀) + В(у - у₀) (6.4)

равно нулю. Если же точка М (х, у) не лежит на указанной прямой L, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (6.3), ибо в этом случае векторы n и не ортогональны, и поэтому их скалярное произведение (6.4) не равно нулю.

Утверждение доказано.

Уравнение (6.1) с произвольными коэффициентами А, В и С такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.

Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (6.1), ортогональна к вектору n=(А, В). Этот вектор мы будем называть нормальным вектором прямой (6.1).

Замечание. Если два общих уравнения и определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число λ, что справедливы равенства

A₁=λА, B₁ = λB, C₁=λC, (6.5)