Пучки и связки плоскостей.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

В полной аналогии с теоремой, относящейся к пучку прямых, доказывается следующее утверждение:

Если A₁x + B₁y+C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y+C₂z + D₂ = 0 уравнения двух различных не параллельных плоскостей, пересечением которых служит прямая L, а α и β — любые, не равные одновременно нулю числа, то

α(A₁x + B₁y+C₁z + D₁ ) + β (A₂x + B₂y+C₂z + D₂ ) = 0. (7.22)

есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через прямую L плоскость, она определяется уравнением (7.22) при некоторых α и β.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы для пучка прямых.

Сформулированное утверждение позволяет задавать прямую L, являющуюся линией пересечения двух не совпадающих и не параллельных плоскостей A₁x + B₁y+C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y+C₂z + D₂ = 0, не только двумя уравнениями этих плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями плоскости из пучка (7.22), полученными при каких угодно α и β.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку M₀(x₀, y₀, z₀) называется связкой плоскостей (с центром в М₀).

Легко убедиться в том, что уравнение связки с центром в М₀(х₀, у₀, z₀) имеет вид

A(x-x₀) + B(y-y₀)+C(z-z₀) = 0, (7.23)

где А, В и С — какие угодно числа, не равные одновременно нулю.

В самом деле, всякая плоскость, определяемая уравнением (7.23), проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀). С другой стороны, если π — наперед заданная плоскость, проходящая через точку М₀(х₀, у₀, z₀), то эта плоскость однозначно определяется заданием, кроме точки M₀(x₀, y₀, z₀), еще нормального вектора n = (A, В, C) и потому определяется уравнением (7.7), совпадающим с уравнением (7.23).