Тема 2. Системи лінійних рівнянь
Мета. Навчитися розв’язувати системи лінійних рівнянь різними способами.
План.
Поняття про систему лінійних рівнянь.
Матричний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь.
Формули Крамера та їх застосування для розв’язування систем лінійних рівнянь.
Метод Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь.
1. Система m лінійних рівнянь з n невідомими має такий вигляд:
(1)
В данній системі можна виділити три матриці :
А=- матриця системи; Х=; В=.
АХ=В. (2)
Роз’язком системи (1) називається деяка сукупність n чисел x1=a1, x2=a2, ... , xn=an, які всі системи перетворюють у тотожність.
Якщо система має єдиний розвязок, то вона називається визначеною.
Якщо система має безліч розвязків, то вона називається невизначеною.
Система називається сумісною, якщо вона має хоч один розв’язок.
Система, яка не має жодного розвязку, називається несумісною.
2. Для простоти записів розглянемо систему третього порядку. Нехай n=3.
(3)
А=- матриця системи; Х=; В=.
AX=B.
Нехай матриця А невироджена, тобто визначник не дорівнює 0. |А|¹ 0. У (4) випадку існує обернена матриця до даної АА-1 = А-1А = Е.
Домножимо обидві частини матричного рівняння (4) на А-1 зліва:
А-1АХ = А-1В;
ЕХ = А-1В;
Х = А-1В.
Наприклад:
А=; В=.
|А|=2 Þ |А|¹ 0.
А-1= ;
Х= ==. Таким чином х1=1, х2=-2, х3=3.
3. Розглядаємо n рівнянь з n невідомими. Для простоти викладу знову візьмемо n=3, тобто розглянемо систему (3).
Позначимо D = |А|= - визначник системи.
ТЕОРЕМА: Якщо визначник системи (3) D ¹ 0 , то система (3) має розвязок (причому єдиний) і цей розв’язок знаходиться за формулами:
х1= ; х2=; х3=. (Ці формули називаються формулами Крамера),
де D1=;D2= ;D3= .
Наприклад, розв’яжемо систему
D = |А|= = -18.D ¹ 0. D1= = 18; х1=.
D2= =54; х2 =. Аналогічно D3=-72; х3 =.
4. Нехай маємо систему вигляду
Метод Гаусса служить для розв’язування довільних систем.
Розглянемо поняття елементарного перетворення.
Елементарними перетвореннями є:
1)перестановка місцями двох рівнянь;
2)множення двох частин деякого рівняння на число, яке не дорівнює нулю;
3)додавання до обох частин деякого рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на одне і те ж число.
В результаті елементарних перетворень одержимо рівносильну до неї систему.
Розглянемо перетворення системи (2).
Нехай а11¹ 0. Поділимо перше рівняння на а11. Перше рівняння набуде вигляду : .
Перше рівняння множимо на -а21 і додаємо до другого рівняння і т. д.
Отримаємо
Нехай с22¹0 і виконаємо дії аналогічні попереднім у всіх рівняннях, починаючи з третього рівняння виключимо х2. Після певної кількості таких кроків одержимо систему наступного виду:
1) Одержимо несумісну систему (якесь із рівнянь в лівій частині буде мати нулі, а права не дорівнює нулю) - тоді система розв’язків немає.
2) одержимо систему у вигляді трикутника. З останнього рівняння визначаємо хn- .Тоді послідовно всі інші х в спадному порядку. В цьому випадку система має один розвязок.
3) одержимо систему у вигляді трапеції. В цьому випадку система має безліч розвязків.
- Пояснювальна записка
- Розділ 1. Матриці та вектори
- Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця.
- Контрольні запитання
- Тема 2. Системи лінійних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 3. Довільні системи лінійних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 4. Елементи векторної алгебри
- Контрольні запитання
- Розділ 2. Основи аналітичної геометрії
- Тема 5. Пряма лінія на площині
- Контрольні запитання
- Тема 6. Криві другого порядку
- Контрольні запитання
- Тема 7. Площина та її рівняння
- Видно, що ,( тобто площина паралельна до осіOx.
- 4. Кут між двома площинами.
- Нехай маємо площину задану нормальним рівнянням
- Контрольні запитання
- Тема 8. Пряма в просторі
- Контрольні запитання
- Розділ 3. Вступ до математичного аналізу Тема 9. Функція та її границя. Основні теореми про границю.
- Контрольні запитання
- Тема 10. Неперервність функції в точці
- Контрольні запитання
- Контрольні запитання
- Тема 12. Диференціал функції. Похідні вищих порядків
- Контрольні запитання
- Тема 13. Дослідження функцій за допомогою похідної
- Контрольні запитання
- Розділ 5. Функції багатьох змінних
- Тема 14. Границя функції багатьох змінних
- Контрольні запитання
- Тема 15. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Застосуваня частинних похідних
- Контрольні запитання
- Розділ 6. Інтегрування функції однієї змінної
- Тема 16. Первісна функція та неозначений інтеграл
- 3. Таблиця основних інтегралів
- Контрольні запитання
- Тема 17. Визначений інтеграл та його обчислення
- Скориставшись цим, маємо
- Таким чином
- Розв’язування. В силу симетрії кривої визначаєм спочатку одну чверть шуканої площі
- Контрольні запитання
- Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння
- Тема 19. Поняття про диференціальні рівняння, рівняння з відокремлюваними змінними
- Основна задача теорії інтегрування диференціальних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 20. Диференціальні рівняння 1-го порядку
- Диференціальне рівняння
- Контрольні запитання
- Тема 21. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами
- Контрольні запитання
- Перелік рекомендованої літератури
- Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця 4с.