Розділ 3. Вступ до математичного аналізу Тема 9. Функція та її границя. Основні теореми про границю.

Мета. Дати поняття функції та її границі, сформулювати основні теореми про границю функції однієї змінної.

План.

1. Поняття про функцію. Область визначення та область існування функції.

2. Способи задання функції. Обернена та складена функції.

3. Класи елементарних функцій.

4. Поняття про границю функції, основні теореми.

1. Нехай задано дві множини E та F. Відображенням f множини E у множину F будемо називати припис (правило), яке кожному елементу ставить у відповідність тільки один елемент . Слова функція, відображення, оператор, відповідність, перетворення - синоніми. Якщо кожному елементові множиниE ставиться у відповідність один і лише один елемент множини F, то кажуть, що задано однозначне відображення множини E у множину F. Записують y=f(x) (ігрек дорівнює еф від ікса). x називають незалежною змінною або аргументом, а y- залежною змінною, або функцією. Множина E при цьому називається областю існування, або областю визначення функції y=f(x).

Щоб задати функцію, треба мати , по-перше, область визначення функції (конкретну множину, скінчену чи нескінчену), і, по-друге, закон відповідності.

Дві функції вважаються рівними або тотожними, якщо в них одна і та сама область визначення і один закон відповідності. Наприклад, функції f(x)=lgx²,xÎ(0;+¥), і j(x)=2lgx,xÎ(0;+¥) є тотожними. Проте функція f(x)=lgx², xÎ(-¥;0)È(0;+¥), і функція j(x)=2lgx,xÎ(0;+¥) не тотожні, бо мають різну область визначення.

Якщо функція f(x) визначена на множині E і x₀ - довільна точка множини E, то число y₀, якому функція f поставила у відповідність точку x₀ ( y₀=f(x₀) ) називається значенням функції в точці x₀. Множина всіх таких значень заданої функції називається множиною значень або областю існування функції і традиційно позначається E(f).

Розглянемо прямокутну декартову систему координат на площині. На осі абсцис відкладемо множину, що відповідає множині E і побудуємо точку M(x,f(x)). При переміщені точки x вздовж множини E точка M утворює деяку множину точок, яка називається графіком функції f(x).

Основними характеристиками функції є її парність чи непарність, періодичність чи неперіодичність, монотонність на проміжках області визначення (пригадайте ці поняття з шкільного курсу).

2. Функція може бути задана багатьма способами. Розглянемо деякі з них.

1). Аналітичний спосіб. Як правило, функція задається за допомогою формули. У цьому випадку областю визначення є множина всіх точок x, при яких математичний вираз має зміст.

Наприклад, . Знайдемо область визначення

Після розв’язання першої нерівності системи отримаємо xÎ[2;5], а після розв’язання другої - xÎ(0;7). Остаточний розв’язок xÎ[2;5].

2). Графічний спосіб. У цьому випадку відповідність між значеннями x та y встановлюється за допомогою заданого графіка, по якому для кожного значення x можна визначити значення y і навпаки. Графічне зображення відтворює загальний процес проходження модельованого процесу в його розвиткові.

На практиці графічне подання функції спостерігаємо під час роботи приладів- самописців (наприклад електрокардіограма, барограф тощо).

3). Алгоритмічний чи машинний спосіб. В цьому випадку задається алгоритм чи програма, яка для кожного значення x обраховує відповідне йому значення y=f(x). Часто така програма закладена в пам’ять ЕОМ чи калькулятора і обчислює значення функції автоматично (наприклад, калькулятор обраховує значення синуса, косинуса, експотенціальної функції іт.д.).

4). Табличний спосіб. Функція задається у вигляді таблиці деяких значень аргументу і відповідних їм значень функції. Відомі чотиризначні таблиці Брадіса, які подають значення для функцій y=x², y=lgx, y=1/x, тригонометричних функцій тощо.

На практиці таке задання часто спостерігаємо при проведенні дослідів з фізики, різноманітних спостереженнях.

5). Словесний спосіб. Функція чи її властивості описуються реченнями.

Наприклад, «f(x) дорівнює цілому числу, яке не перевищує x». З слів ясно, що f(2,4)=2; f(4)=4; f(-3,7)=-4 ... Ця функція позначається f(x)=[x] (ціла частина від x) і має назву функції Антьє.

Якщо функція задана аналітичним рівнянням y=f(x), то вона називається явно заданою: y=3x-4, y=x²-sinx.

Якщо функція задана аналітичним рівнянням виду F(x,y)=0, то вона називається неявно заданою: 2y+3x-4=0, y²-sinx+xy=0.

Означення. Функція, задана у вигляді y=f(g(x)), називається складеною функцією, утвореною з функцій f і g, або суперпозицією функцій g і f. Складену функцію часто записують у вигляді

y=f(u), де u=g(x).

При цьому аргумент x називають незалежною змінною, а u- проміжним аргументом. Наприклад, y=cos(3x+2) є складеною функцією, утвореною з функцій f(u)=cosu і u=g(x)=3x+2; функція y=2lg(3x-1)²+6 можна розписати як y=f(u)=2u+3, u=g(v)=lgv, v=h(m)=m², m=k(x)=3x-1.

Нехай задано функцію y=f(x).

Якщо кожному значенню функції y з множини значень E(f) відповідає одне і тільки одне значення аргументу х з області D(f), таке, що y=f(x), то кажуть, що функція y=f(x) є оборотною.

Якщо функція y=f(x) є оборотною, то функція x=g(y), де y- аргумент, а x- функція є оберненою до функції y=f(x). Причому область значень функції співпадає з областю визначення функції, оберненої до неї, і навпаки (запишіть це математично).

З означення слідують тотожності: y=f(g(y)), x=g(f(x)). Якщо для позначення використовувати для аргументу символ x, а для функції символ y, то отримаємо формулу y=g(x). Обернена функція часто позначається символом f ^-1. Зрозуміло, що функції f та f ^-1 взаємнообернені. Графіки взаємнообернених функцій симетричні відносно бісектриси першого та третього координатних кутів.

3. Функції

- степенева y=x^;

- показникова y=a^x, (а>0, a1);

- логарифмічна y=log_ax, (а>0, a1);

- тригонометричні y=sinx; y=cosx; y=tgx; y=ctgx;

- обернені тригонометричні y=arcsinx; y=arccosx; y=arctgx; y=arcctgx;

- стала функція y=c

називаються основними елементарними функціями.

Основні елементарні функції, а також ті, які отримані з допомогою скінченного числа арифметичних дій і суперпозицій елементарних функцій називаються елементарними функціями.

Елементарні функції поділяються на такі класи:

1). Цілі раціональні функції.

Це функції вигляду

y=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n,

де a_k (k=1,2,...,n)- сталі дійсні числа. Цілі раціональні функції часто називають алгебраїчними многочленами, числа- їх коефіцієнтами, а якщо a_n¹0, то число n- степенем многочлена.

2). Раціональні функції.

Функції вигляду

y=f/g,

де f=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n, а g=b₀x^m+b₁x^m-1+...+b_m-1x+b_m - цілі раціональні функції, тобто є часткою цілих раціональних функцій. Якщо m=0 і b₀¹0, то раціональна функція є ціла раціональна функція. Якшо функція не є цілою, то вона називається дробово- раціональною.

3).Ірраціональні функції.

Це функції, задані за допомогою суперпозицій раціональних функцій, степеневих функцій з раціональними показниками і чотирьох арифметичних дій, застосованих скінчене число раз.

4). Алгебраїчні функції.

Функція y від x називається алгебраїчною, якщо вона задовільняє рівняння

P₀(x)yⁿ+P₁(x)y^n-1+...+P_n-1(x)y+P_n(x)=0,

де P_k(x)- алгебраїчні многочлени від x.

Всі раціональні та ірраціональні функції є алгебраїчними.

5). Функції, які не є алгебраїчними називаються трансцендентними. Можна показати, що тригонометричні, обернено тригонометричні, показникова і логарифмічна функції, а також їх суперпозиції і функції, утворені з них за допомогою дій є трансцендентними.

4. Розглянемо поняття околу точки х.

Околом точки х₀ називається будь- який проміжок (a, b), що містить цю точку.

d- околом точки х₀ називається інтервал (х₀-d; х₀+d), де d>0.

Околом плюс нескінченно віддаленої точки на прямій (позначатимемо її +¥), називатимемо всякий інтервал (b;+¥), де b>0.

Околом мінус нескінченно віддаленої точки на прямій (позначатимемо її -¥), називатимемо всякий інтервал (-¥; -a), де a>0.

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х₀, крім можливо самої точки х₀.

Означення: Число А називається границею функції f(x) в точці х₀ (при х®х₀), якщо для довільно вибраного e>0 можна вказати таке d>0, що для всіх х, що задовільняють умову 0<|x-x₀|<d, виконується нерівність |f(x)-A|<e Позначаємо .

З геометричної точки зору це означає, що для будь- якого e можна вказати такий d-окіл, що якщо всі х з цього околу графік цієї функції буде лежати в стрічці шириною 2e, від А-e до А+e.

Нехай функція f(x) визначена на проміжку (х₀; х₀+d₁) (на проміжку (х₀-d₁; х₀) ), де d₁>0. Число А називається правою (лівою) границею функції f(x) в точці х₀, якщо для довільно вибраного e>0 існує таке d>0, що з нерівностей 0<x-x₀<d (0<x₀-x<d) , випливає нерівність |f(x)-A|<e. Позначаємо (). Записх®х₀-0 (х®х₀+0) означає, що точка х прямує до точки х₀ справа (зліва). Права та ліва границі функції називаються односторонніми границями функції в точці. Наступна теорема встановлює залежність між правою і лівою та границею функції в точці.

Теорема. Для того, щоб функція f(x) мала границю в точці х₀, необхідно і досить, щоб у цій точці функція f(x) мала праву і ліву границю і щоб права границя дорівнювала лівій.

Функція a(х) називається нескінченно малою при х®х₀ (х®¥), якщо .

Теорема 1. Якщо a(х) і b(х) нескінченно малі функції при х®х₀ (х®¥), то їх сума (a(х)+b(х)) теж нескінченно мала функція при х®х₀ (х®¥).

Теорема справедлива і для будь-якого іншого скінченного числа доданків.

Теорема 2. Добуток нескінченно малої функції a(х) при х®х₀ (х®¥), на функцію, обмежену при х®х₀ (х®¥) є функція нескінченно мала при х®х₀ (х®¥).

Наслідок 1. Добуток двох нескінченно малих функцій при х®х₀ (х®¥) є функція нескінченно мала при х®х₀ (х®¥).

Наслідок справедливий і для будь-якого іншого скінченного числа множників.

Наслідок 2. Добуток нескінченно малої функції a(х) при х®х₀ (х®¥), на сталу функцію є функція нескінченно мала при х®х₀ (х®¥).

Теорема 3. Частка від ділення нескінченно малої функції a(х) при х®х₀ (х®¥), на функцію f(x), границя якої не дорівнює нулю при х®х₀ (х®¥) є функція нескінченно мала при х®х₀ (х®¥).

Функція f(x) називається нескінченно великою при х®х₀ , якщо для будь- якого як завгодно великого числа М можна вказати таке число d>0, що для всіх х, які задовольняють умову 0<|x-x₀|<d, виконується нерівність |f(x)|>M. Позначаємо .

Якщо функція є нескінченно великою при х®х₀ (х®¥) і набуває лише додатніх значень, то використовуємо позначення , якщо ж функція є нескінченно великою прих®х₀ (х®¥) і набуває лише від’ємних значень, то використовуємо позначення .

Справедлива наступна теорема.

Якщо функція f(x) є нескінченно великою при х®х₀ (х®¥), то функція 1/f(x) є функцією нескінченно малою при х®х₀ (х®¥). І навпаки, якщо функція a(x) є нескінченно малою при х®х₀ (х®¥) і не перетворюється в нуль, то функція 1/a(x) є функцією нескінченно великою при х®х₀ (х®¥).

Основні теореми про границю.

Теорема 1. Якщо існує границя функції f(x) при х®х₀ (х®¥), то ця границя єдина.

Теорема 2. Якщо , то функцію можна записати у виглядіf(x)=A+a(x), де a(x)- нескінченно мала функція при х®х₀ (х®¥).

Справедлива і обернена теорема :

Теорема 3. Якщо функцію можна представити у вигляді f(x)=A+a(x), де a(x)- нескінченно мала функція при х®х₀ (х®¥), то .

Теорема 4. Якщо існують скінченні границі ;, то існує також границя суми для цих функцій і границя суми дорівнює сумі границь цих функцій:+.

Теорема справедлива і для будь-якого іншого скінченного числа доданків.

Теорема 5. Якщо існують скінченні границі ;, то існує також границя добутку для цих функцій прих®х₀ і границя добутку дорівнює добутку границь цих функцій: .

Наслідок 1. Сталий множник можна винести за знак границі:

с.

Наслідок 2. Границя сталого числа дорівнює цьому ж числу.

Наслідок 3. Якщо задано функцію виду , деnÎN, то

=.

Теорема 6. Якщо існують скінченні границі ;, причому А₂¹0, то існує також границя частки для цих функцій при х®х₀ , причому границя частки дорівнює частці границь цих функцій:

/.

Вище написанні теореми приведенні для випадку границі при х®х₀. Цілком аналогічно можна сформулювати теореми для випадку при х®¥.

Основні теореми про границю спрощують обчислення границь функцій, варто лише звести функцію за їх допомогою до якогось з стандартних виглядів (чи важливих границь, чи границь, які легко обчислюються).