Тема 4. Елементи векторної алгебри

Мета: Оволодіти основними поняттями векторної алгебри та взаємозв’язками між ними.

План.

1. Вектори та дії над ними.

2. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів.

3. Базис. Система координат.

1. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначаємо _, тощо. Основними характеристиками вектора є напрям та довжина (абсолютна величина). Довжина вектора позначається т.д. Вектор з нульовою довжиною називається нуль-вектором і позначається .

Означення 1: Колінеарними векторами називаються вектори, які розміщенні на одній прямій або на паралельних прямих.

Означення 2: Компланарні вектори, це вектори, які розміщуються в одній площині чи паралельних площинах.

Ветори таназиваються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину і напрямлені в один бік.

Наприклад, вектори тане є рівними, оскільки вони не мають спільного напряму.

Операції над векторами.

1. Додавання векторів. Сумою двох векторів називається вектор, початок якого збігається з початком вектора- першого доданку, а кінець з кінцем вектора- другого доданку.

2. Різниця векторів. Різницею двох векторів таназивається вектор, такий, що.

3. Добуток вектора на число. Добутком вектора на числоa називається вектор, який має довжину |a | і який колінеарний вектору .

Якщо a>0, то вектори a іоднаково напрямлені, якщоa<0, то вектори a імають протилежний напрямок.

Справедливе наступне твердження:

Для того, щоб два вектори табули колінеарними наобхідно і досить, щоб їх можна було записатиa=, деa – дійсне число.

2. Вектори називаютьсялінійно залежними, якщо існують такі числа a₁, a₂, ..., a_n , не всі рівні нулю, такі, що для них виконується рівність

. (1)

Вектори називаються лінійно незалежними, коли рівність (1) виконується тільки тоді, коли всі a₁, a₂, ..., a_n дорівнюють нулю.

Нехай лінійно залежні іa₁¹0. З рівності (1) випливає

, де .

Звідси видно, що у випадку лінійної залежності хоч один вектор є лінійною комбінацією всіх інших векторів.

Зрозуміло, що якщо вектори колінеарні, то вони лінійно залежні.

Теорема 1. Три вектори на площині – лінійно залежні.

Теорема 2. Для того, щоб два вектори на площині були лінійно незалежні, необхідно і досить, щоб вони були неколінеарні.

Максимальне число лінійно незалежних векторів на площині рівне 2.

Аналогічно доводимо наступне:

1. Будь-які чотири вектори в просторі лінійно залежні.

2. Для того, щоб три вектори в просторі були лінійно незалежні, необхідно і досить, щоб вони були некомпланарні.

Максимальне число лінійно незалежних векторів в просторі рівне 3.

3. Базисом на площині називаються будь- які два лінійно незалежні вектори, взяті в певному порядку.

Позначимо два неколінеарні вектори, що утворюють базис, е₁, е₂.

Справедливе наступне твердження: Довільний вектор площини можна розкласти по векторах базису.

Аналогічно базисом в просторі називається будь-які три лінійно незалежні вектори, взяті в певному порядку (іншими словами три некомпланарні вектори утворюють базис).

Справедливе наступне твердження: Довільний вектор простору можна розкласти по векторах базису.

Впорядкована система трьох векторів, що визначають осі, разом з спільним початком і спільною одиницею довжини називається системою координат..

Впорядкована система трьох взаємно перпендикулярних векторів, що визначають осі, разом з спільним початком і спільною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат.

В цій впорядкованій системі , що позначається Oxzy , вісь Ox називається віссю абсцис, вісь Oy називається віссю ординат, вісь Oz називається віссю аплікат. Вектор, розкладений по векторах базису, спроектуємо на кожну з осей, і отримаємо відповідні проекції. Довжину проекції на осі абсцис назвемо абсцисою точки, початок якої лежить в початку координат, а кінець на кінці вектора. Аналогічно позначаємо ординату і аплікату точки.

Теорема. Будь- який вектор можна розкласти по ортам координатних осей.

Розклад вектора по трьох ортах представимо у вигляді: . Коефіцієнтами цього розкладу служать проекції вектора на координатні осі, їх прийнято називати координатами вектора. Таким чином, коефіцієнтами розкладу вектора по осях служать його координати.

Внаслідок взаємної перпендикулярності координатних осей, довжина вектора , початок якого лежить в початку координат, рівна довжині діагоналі прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторахі виражається рівністю.

Вектор можна виразити через координати початку і кінця. Нехай початок знаходиться в точці, а кінець - в точці. Тоді з рівностімаємо

Звідси , або

Операції над векторами, заданими координатами:

1. Сумою двох векторів тає вектор

2. Різницею двох векторів тає векторде

3. Добутком вектора на числоa є вектор 

Аналогічні операції можна проводити над векторами на площині.