3. Таблиця основних інтегралів

Кожна формула з таблиці похідних має відповідну формулу в таблиці інтегралів.

1. . 7. .

2. . 8. .

3. . 9. .

4. . 10. .

5. . 11. .

6. . 12. .

Додатково варто знати формули

13. . 14..

15. . 16..

Правильність усіх формул перевіряється диференціюванням їх правих частин.

Є три основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод заміни змінної та метод інтегрування за частинами.

Метод розкладу.

Справедливі наступні твердження.

Теорема 1. Якщо функції мають первісні на проміжку(a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:

(1)

Теорема 2. Якщо функція має первісну на проміжку(a,b), то на цьому проміжку має первісну і функція і справедлива рівність:

, k0 (2)

Наслідок. Якщо функції мають первісні на проміжку(a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:

(3)

Метод інтегрування з використанням теорем 1,2 та наслідку називають методом розкладу.

Метод заміни змінної.

Теорема 3. Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на проміжку (a, b) і якщо функція x=(x) диференційована на проміжку (, ), причому складена функція F((t)) визначена на проміжку (, ), то функція f( (t))’(t) на проміжку (, ) має первісну, причому

. (4)

Метод інтегрування за допомогою теореми 3 називається методом інтегрування способом заміни змінної.

Приклад.

Метод інтегрування частинами.

Теорема 4. Якщо функції диференційовні на проміжку (a,b) і на цьому проміжку існує первісна для функції , то на проміжку(a, b) існує первісна і для функції і має місце рівність

. (5)

До правої частини ми не додали довільної сталої С, оскільки така стала міститься в іннтегралі .

Формула (5) називається формулою інтегрування частинами, а метод інтегрування, що грунтується нга ній – методом інтегрування частинами.

Розглянемо приклад.

,

позначивши , отримаємо

.

Деколи цю формулу птрібно застосовувати декілька разів.

.

Попутно зауважимо, що для обчислення більшості інтегралів потрібно, як правило, застосовувати різні методи.