Признаки сравнения рядов

Теорема. Если и ‑‑ числовые ряды с положительными членами, причем при любомn, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через и частичные суммы рядов и соответственно. По условию теоремы ряд сходится, поэтому все его частичные суммы ограничены, т.е. при всех , где– некоторое число. А так как, по условию,, то. Значит частичные суммы ряда тоже ограничены, а этого уже достаточно для сходимости ряда.

В некоторых случаях ряд называется мажорантой ряда , а ряд ‑‑ минорантойряда . Тогда теорему можно сформулировать следующим образом:

‑‑ Если мажоранта сходится, то и миноранта сходится.

‑‑ Если миноранта расходится, то и мажоранта расходится.

Пример . Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как , а гармонический рядрасходится, то расходится и ряд.

Пример . Исследовать на сходимость ряд

Решение. В силу того, что , а рядсходится (это убывающая геометрическая прогрессия), то рядтоже сходится.

Теорема. Если и существует предел, где – число, отличное от нуля, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Необходимо заметить, что оба рассмотренных признака имеют один и тот же недостаток: для исследования сходимости некоторого положительного ряда с помощью данных признаков необходимо подобрать другой ряд, сходимость (или расходимость) которого известна. Общих методов для нахождения таких рядов нет. Все зависит от интуиции, то есть от обширности запаса «эталонных» рядов у исследователя.