Бесконечные неабелевы группы

Пример 1. Бесконечные матрицы

Специфика бесконечных матриц полностью выявляется при попытке умножать их. А именно, умножение бесконечных матриц не всегда определено.

В алгебре рассматриваются матрицы с коэффициентами из произвольного ассоциативного кольца R с единицей, тем самым накладываются другие условия конечности, типа конечнострочности или конечностолбцовости. Кроме того, умножение может быть определено, но бывает неассоциативным. В третьих, обратимость бесконечных матриц ведет себя странно, существуют, например, бесконечные матрицы имеющие бесконечное число обратных.

??(Множество дробно-рациональных функций)

Пример 2. Группа всех самосовмещений прямой в какой-либо проходящей через нее плоскости.

Эта группа состоит: из скольжений прямой по себе (самосовмещеиия первого рода) и из поворотов прямой в выбранной плоскости на угол 180° вокруг любой из ее точек (самосовмещения второго рода). Группа самосовмещений прямой некоммутативна.

Доказательство:

Чтобы убедиться в том, что группа самосовмещений прямой некоммутативна, достаточно перемножить два самосовмещения, из которых одно первого, а другое — второго рода: результат этого перемножения изменится при изменении порядка сомножителей. Очевидно, все самосовмещения второго рода можно получить, перемножая (т. е. последовательно осуществляя) всевозможные скольжения прямой с одним каким-нибудь поворотом на 180° (т. е. поворотом на 180° вокруг одной определенной, но произвольно выбранной точки этой прямой). Скольжения прямой по самой себе составляют подгруппу всех ее самосовмещений. Эти скольжения суть единственные перемещения прямой самой по себе. Каждому скольжению прямой самой по себе взаимно однозначным образом соответствует некоторое действительное число, указывающее, на какую длину и в каком из двух возможных направлений мы сдвинули прямую по ней самой. Отсюда легко заключить, что группа всех скольжений прямой по самой себе изоморфна группе действительных чисел (с операцией обыкновенного арифметического сложения в качестве групповой операции).

Пример 3. Группа M всех движений плоскости.

Доказательство

Докажем, что множество движений плоскости D с заданной композицией является группой, причем группой аддитивности:

1) Докажем, что композиция двух движений есть движение:

Пусть и - движение - преобразование. Рассмотрим образы любых двух точек при каждом движении.

то есть,

Доказать .

Действительно, т.к. - движение, следовательно .

- тоже движение. Следовательно, . Следовательно, . Следовательно, f – движение ( ).

2).Докажем ассоциативность композиции движений.

Действительно, если рассмотреть образы двух точек M и N, то очевидно, что расстояние между ними не изменится, если выполнить преобразование g или e.

3).Покажем, что на множестве D существует нейтральный элемент, то есть:

. - нейтральный элемент: тождественное преобразование e: .

4).Покажем, что для любого движения существует обратное, то есть: .

Действительно для любого существует симметричный элемент. Для - сама является для себя симметричным элементом, так как .