2.2. Зворотна матриця
Нехай А и В - дві матриці наступного виду:
і ;
оборотний увага на те, що в першій з них стовпців стільки ж, скільки в другий з них - рядків. У цьому випадку можна побудувати нову матрицю З
,
називану добутком А на В (пишуть ІЗ=АВ), за правилом
,
де i=1,...,m і j=1,...,r. Серед матриць прийнято виділяти й позначати буквою E
наступну матрицю, називану одиничної, -
;
пояснимо: одинична матриця завжди квадратна, по її діагоналі коштує 1, а всі інші елементи - нулі, тобто якщо Е=(еij), i,j=1,...,n, те
.
Говорять, що квадратна матриця А и квадратна матриця В того ж розміру є зворотними по відношенню друг до друга, якщо виконано хоч одне з матричних рівностей - або АВ=Е або ВА=Е. Можна перевірити, що якщо одне із цих матричних рівностей виконується, то виконується й інше. Про всякий випадок пояснимо, що слова «матрична рівність» означають рівність заелементне, тобто якщо має місце рівність матриць U=V, те це означає, що в них рівні кількості рядків і рівні кількості стовпців і при цьому uij=vij для всіх i і j. Зокрема, система лінійних алгебраїчних рівнянь із п.3 Лекції 1 може бути записана у вигляді AX=B, де
,
а А и В мають той же змив, що й у п.3 Лекції 1.
Неважко помітити, що якщо для квадратної матриці А потрібно знайти зворотну матрицю В, те треба вирішити n систем лінійних алгебраїчних рівнянь із однієї й тої ж матрицею: запишемо матричну рівність АВ=Е поелементно (тут усього вийде n2 рівностей), причому будемо послідовно дорівнювати стовпці - перший стовпець лівої частини до першого стовпця правої частини, другий стовпець лівої частини до другого стовпця правої частини й т.д. –
Із цього спостереження треба, що знайти зворотну матрицю можна вирішуючи одночасно n систем лінійних алгебраїчних рівнянь із однієї й тією же матрицею А.
Лекция 3
АЛГОРИТМИ ТА ПРОГРАМИ РОЗРАХУНКІВ ЗА ФОРМУЛАМИ ТА ТАБЛИЦЯМИ. ВИКОРИСТАННЯ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБІВ. СХЕМА ГОРНЕРА. МЕТОДИ ДІЛЕННЯ ВІДРІЗКА НАВПІЛ, ХОРД І ДОТИЧНИХ ДЛЯ УТОЧНЕННЯ КОРЕНЯ РІВНЯННЯ. ВІДШУКАННЯ РЕЧОВИННИХ КОРНІЙ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.
- Конспект лекцій Частина і з дисципліни “Числові методи і моделювання на еом”
- Лекция 1 числові методи алгебри. Особливості алгоритмування обчислювальних задач. Елементи теорії похибок обчислень та аналізу помилок округлення. Порядок виконання операцій
- 1.1. Про наближені обчислення
- 1.2. Лінійні заміни змінних
- 1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
- 2.1. Апроксимація функції по Фур'є.
- 2.1.1. Перетворення Фур'є
- 2.2. Зворотна матриця
- 3.1. Метод ділення відрізка навпіл для розв'язання рівнянь
- 3.2. Метод хорд для рішення рівнянь
- 3.3. Метод дотичних для розв'язання рівнянь
- 3.4. Методика рішення алгебраїчного рівняння
- Метод простих ітерацій
- Метод Зейделя
- Метод ітерацій для рішення рівнянь
- 4.4. Метод ітерацій для рішення систем нелінійних алгебраїчних і
- Лекция 5 звернення матриць. Подвійність у лінійному програмуванні. Одночасне рішення пари двоїстих задач лінійного програмування.
- Лекція 6
- 6.1. Чисельне диференціювання функції однієї змінної.
- 6.2. Чисельне інтегрування функції однієї змінної.
- 6. 3. Постановка задачі про чисельне рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.5. Метод Рунге-Кутта чисельного рішення звичайного диференціального рівняння.
- 6.6. Підхід до чисельного рішення системи звичайних диференціальних
- Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень
- Лекция 8 чисельне диференціювання та інтегрування. Основна задача лінійного програмування. Дослідження її окремих випадків. Модифікований варіант жордановых винятків
- 8.1. Постановка основної задачі лінійного програмування (озлп)
- 8.2. Екстремальні задачі, що зводяться до озлп заміною змінних
- 8.3. Лінійна заміна змінних і її використання в дослідженні основної
- 8.4. Модифікований варіант жордановых виключень як спосіб організації лінійної заміни змінних
- Лекция 9 диференціювання інтерполяційних формул. Мова « n-мірних» точок. Геометрія задачі лінійного програмування. Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекса-методу
- 9.1.Мова n-мірних точок.
- 9.2. Геометрія задачі лінійного програмування.
- Опорне рішення й оптимальне рішення. Загальні установки симплекс-методу
- Підготовка озлп до рішення симплекс-методом.
- Список рекомендованої літератури