3.3. Расстояние от точки до плоскости

• Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрез-

ка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

поэтапно-вычислительный метод

Расстояние от точки M до плоскости α

1) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P , лежащей на прямой l , которая проходит через точку M и параллельна плоскости α;

2) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P , лежащей на плоскости β , которая проходит через точку M и параллельна плоскости α.

Координатный метод.

Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле

(М, ) = , где М ( ). Плоскость α задана уравнением ах+bу+сz+d=0.

Пример 1. В единичном кубе АВСД найти расстояние от точки до плоскости А С

Решение. Поэтапно-вычислительный метод. Решим задачу методом вспомогательного объема. = * H; = *АВ. Объемы этих пирамид равны, поэтому имеем H = . правильный со стороной равной . = . = ; АВ= 1. H = = . Ответ. .

Координатный метод. Введем систему координат таким образом, что ось абсцисс пойдет по АД, ось ординат по ДС, ось аппликат по Д . Расстояние от точки до плоскости А С можно вычислить по формуле

( , ) = , где М ( ). Плоскость А С задана уравнением ах+bу+сz+d=0. А(1,0,0), С( 0,1,0), (1,1,1), (0,1,1). Подставим координаты точек плоскости А С в уравнение плоскости. а+d=0; b + d =0; a +b +c + d =0 .

а = - d, b = - d, c =d. Составим уравнение плоскости А С: -dx –dy +dz +d =0, x +y –z – 1 =0 . По формуле находим расстояние от точки до плоскости ( , ) = = . Ответ. .

Пример2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости SAD.

Решение. Поэтапно – вычислительный метод. Решим задачу методом вспомогательного объема. = *BH, = *SO, где SO АBD. BH = . = = . SO = . BH = = . Ответ.

Координатный метод. Введем систему координат таким образом: ось абсцисс пойдет по АД, ось ординат по ДС, ось аппликат через точку Д АДСВ. А(1,0,0), Д ( 0,0,0), S ( ; ; ), В(1,1,0). Подставим координаты точек А, Д, S в уравнение плоскости: . а+d=0, d =0 , a + b + c +d =0, а = - d, d = 0, b = - c, Составим уравнение плоскости - cy + cz = 0, - y + z =0. По формуле находим расстояние от точки до плоскости (B, ) = = . Ответ. .