3.2. Расстояние от точки до прямой

• Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.

• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.

• Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

поэтапно-вычислительный метод

1.Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот. 2. Еще один подход к нахождению расстояния от точки А до прямой а состоит в том, чтобы найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а. Если точка находится вне участка прямой а, данного в задаче, то через точку А проводят прямую с, параллельную а, и выбирают на ней более удобную точку С, ортогональная проекция которой принадлежит данному участку прямой а.

Пример 1. 1. В кубе A…D1, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AC1.

Р ешение. 1 способ. Поэтапно-вычислительный. 1. Построим вспомогательный АВ прямоугольный (АВ ВС, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах В АВ). По свойству диагонали куба имеем: А = 3А , А = . АВ=1, В = . 2. В прямоугольном треугольнике АВ найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла, длина которой является расстоянием от точки В до прямой AC1. ВН= , ВН= .

2 способ. Координатный. Введем прямоугольную систему координат: ось абсцисс пойдет по прямой АД, ось ординат по ДС, ось аппликат по прямой Д . Тогда В(1;1;0), C1(0;1;1), А(1;0;0). {-1;1;1}, {-1;0;1}, { 0;1;0}, │ │= , │ │= , │ │=1, По теореме косинусов из ∆ А В cos A B = , sin A B= , BH= . Ответ. .

Пример 2. В правильной треугольной призме ABC , все

ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A .

Решение. 1 способ. Поэтапно-вычислительный. 1. Построим вспомогательный АВ . АВ=1, В = , А = . По теореме косинусов cos A B= , sin A B= . = В А sin A B, = . = A * BH, BH= .

2 способ. Координатный. Введем систему координат таким образом: ось аппликат пойдет по прямой А , ось ординат по прямой АВ, ось абсцисс АВ. Тогда А(0;0;0), В(0;1;0), ( ; ; 1). {0; 1;0}, { ; 1}, { ; 1}, │ │=1, │ │= , │ = . По теореме косинусов cos AC1B= , sin AC1B= . = В А sin AC1B, = ., . = AC1 BH, BH= .Ответ. .