3.4. Угол между двумя прямыми

• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из уг-

лов, образованных при пересечении прямых.

• < (a, ^b) ≤ .

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекаю-щимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

• Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

поэтапно-вычислительный метод

При нахождении угла α между прямыми m и l используют формулу =

где a и b,с - длины сторон треугольника АВС, соответственно параллельных этим прямым.

координатный метод Угол α между двумя векторами } и вычисляется по формуле: cos =

• Для того, чтобы векторы были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы =0, т.е =0

Пример 1. В единичном кубе АВСД найти угол между прямыми АЕ и DF, где Е и F – точки, расположенные на ребрах CD и так, что ДЕ= ДС, = .

Решение. 1. Поэтапно – вычислительный метод. Параллельным переносом совместим DF и АЕ, получим ∆АЕ . АЕ= . А = . Е = . По теореме косинусов из ∆АЕ имеем: cos EA = = .

EA = arccos . Ответ. arccos .

Координатный метод. Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Тогда А(0,0,0), Д(1,0,0), Е(1, , 0), F(1, ,1). {1. , 0}, {0, , 1}, cos α = . cos α= = . α = arccos . Ответ. arccos .

Пример 2.В правильной шестиугольной призме ABCDEF , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми А и В . Решение. Координатный метод. Введем систему координат, как показано на рисунке. А(0,0,0), (- ; ; 1); В (- ; ; 0), (0; ; 1), {- ; ; 1}, { , , 1}. сos α = . сos α = . Ответ. .