Интегральный признак Коши

Теорема. Если ‑‑ непрерывная невозрастающая функция, определенная при, то числовой ряди интегралсходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. В силу того, что монотонна, то длявыполняется неравенство, или, проинтегрировав последнее неравенство на отрезке, получаем

Рассмотрим ряд

Его ‑я частичная сумма имеет вид

Сходимость ряда (33) означает существование конечного предела последовательности частичных сумм (34), т.е. сходимость несобственного интеграла , потому что.

Если ряд сходится, то по теореме о сравнении рядов в силу левого неравенства (32) должен сходится и ряд (33), а следовательно и несобственный интеграл . И наоборот, если сходится интеграл, т.е. ряд(33), то по теореме сравнения должен сходиться ряд, следовательно и данный ряд должен сходится.

Пример . . Ряд сходится прии расходится ‑‑, т.к. соответствующий несобственный интегралсходится прии расходится для.

Ряд называетсяобобщенным гармоническим рядом.