Математическое описание экономических систем и явлений

Важным фактором, определяющим роль математики в различных приложениях, является возможность описания наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта на языке математических символов и соотношений. Такое описание принято называть математическим моделированием или формализацией.

Так как в литературе нет единого, строгого определение математической модели, то в качестве рабочего в этой книге будем принимать следующее определение.

Математической моделью реального объекта (явления) называется ее упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций (соотношений).

Следовательно, для получения математической модели сначала вводится система буквенных обозначений элементов реального объекта и затем, на основе изучения существующих взаимосвязей между этими элементами, составляются отражающие их математические соотношения (уравнения, неравенства и др.).

Для чего составляется математическая модель, и какова ее роль в исследовании экономических задач?

Любое ответственное решение в экономике требует проведения эксперимента. Семь раз отмерь, один раз отрежь — так гласит основной принцип одного из разделов прикладной математики. При наличии математической модели мы избавляемся от необходимости дорогостоящих экспериментов, как правило, сопровождаемых многократными пробами и ошибками. Это можно делать на модели, которую, условно говоря, можно резать и перекраивать неоднократно без всяких капиталовложений. Это одно достоинство модели. Другое заключается в том, что формализация дает возможность сформулировать реальную задачу как математическую и позволяет воспользоваться для анализа универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика проводит детальный количественный анализ модели, помогает предсказать, как поведет себя объект в различных условиях и дает рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы. Построение формальных моделей, их анализ и вывод практических рекомендаций – одна из важнейших задач прикладной математики.

Сложность экономических систем превышает порог, до которого стоится точная математическая теория. Поэтому неудивительно, что сколько-нибудь универсальных методов построения математических моделей в экономике не существует. Можно говорить лишь о некоторых общих принципах и требованиях к таким моделям. Перечислим наиболее основные из них:

1. адекватность (соответствие модели своему оригиналу),

2. объективность (соответствие научных выводов реальным условиям),

3. простота (не засоренность модели второстепенными факторами),

4. чувствительность (способность модели реагировать изменению начальных параметров),

5. устойчивость (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи),

6. универсальность (широта области применения).

Комментируя первое свойство, можно заметить, что математическая модель нетождественна самому объекту, а является его приближенным отражением. Говоря об объективности, следует иметь в виду, что никакая отдельно взятая модель не может вполне правильно отразить все свойства сложной экономической действительности. Поэтому формализация экономической задачи проводится наряду с принятием некоторых предварительных условий, предположений, ограничений. Стремление к простоте модели продиктовано ограниченными возможностями вычислительной техники и экономии временных ресурсов при исследовании модели. Практическое значение модель приобретает тогда, когда ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта. Требования чувствительности и устойчивости являются отражением объективных характеристик экономических процессов. Одна и та же математическая модель может применяться для исследования экономических задач различного содержания. Это свойство и называется универсальностью.

Разработка новой модели – это сложный творческий процесс, требующий больших умственных и временных затрат. Для экономии этих ресурсов полезно обращаться к существующему «банку» моделей для проверки пригодности их к новой задаче. Можно привести следующую схему выбора модели и метода ее исследования (рис. 1.6)

Рис. 1.6. Схема выбора модели и метода ее исследования.

Для того, чтобы математическая модель удовлетворяла всем тем требованиям, которые перечислены выше, необходимо тщательно изучить предметную область, собрать и проанализировать большой объем информации. Только в результате такого предварительного изучения самого объекта можно отличить цели от средств их достижения, следствия от причин их породивших, основные факторы от второстепенных.

В этой связи кратко охарактеризуем основные элементы экономики в целом, как объекта моделирования.

Первичными элементами экономики являются товары и участники. Говорят, что имеются экономические товары и участники экономики, если установлено, что эти товары обмениваются один на другой в результате соглашений, в которых заинтересованными сторонами выступают участники. То есть экономический товар – это именно то, что является предметом сделок в данном обществе – труд, капитал, ресурсы, продукты потребления, услуги, информация, ценные бумаги и т.д. Например, общественные посты, при продажности официальных учреждений, являются экономическими товарами. Становясь наследственными или замещаемыми по конкурсу, они перестают быть экономическими товарами. Следовательно, экономический товар определяется способностью к обмену.

Имеется один особый товар, являющийся эквивалентом при обмене – деньги. Деньги служат средством обращения, мерой стоимости, средством сбережения. Денежный эквивалент единицы товара называется его ценой.

Основными участниками экономики являются домашние хозяйства, фирмы и государство.

Домашние хозяйства, с одной стороны, являются потребителями конечного продукта, с другой - владельцами ресурсов (земельных, трудовых и др.). Продавая свои ресурсы домашние хозяйства получают доход, а также участвуют в распределении прибыли производственных предприятий (например, посредством ценных бумаг).

Фирмы, с одной стороны, являются производителями товаров и услуг, с другой – потребителями ресурсов. Фирмы получают доход от продажи своих товаров и услуг и являются владельцами производственных мощностей.

Государство выполняет важные законодательные, управленческие и регулирующие функции. С точки зрения движения товаров в экономике государство является как продавцом (государственных предприятий, природных ресурсов, ценных бумаг и др.), так и покупателем (государственных закупок продовольствия, вооружения, сырья и др.).

Таким образом, большинство участников экономики действует одновременно как покупатель и продавец. Взаимодействуя между собой, покупатели и продавцы образуют рынок. Основными рыночными понятиями являются спрос, предложение, конкуренция и цена.

Спрос можно определить как платежеспособную потребность в том или ином товаре. Спрос на товар зависит от его цены (т.е. спрос является функцией от цены). Как правило, при высокой цене приобретается меньшее количество товара (обратная связь (рис. 1.7 )). В экономике этот факт называется законом спроса.

Предложение – это то количество товара, которое производители могут и хотят произвести. Предложение также зависит от цены товара (прямая связь (рис. 1.7)). В экономике этот факт называется законом предложения.

Если вся масса товара, произведенная в расчете на данную цену, может быть по этой цене продана полностью, то говорят, что по данному виду товара в экономике существует равновесие. Иными словами, существует такая цена, для которой спрос на данный товар равен предложению. Такая цена называется равновесной (рис. 1.7 ).

Рис.1.7. Кривая спроса и предложения и точка равновесия.

Если существует равновесие по всем товарам (и услугам), то говорят о экономическом равновесии. Равновесие —это то состояние к которому стремится экономика, так как в этом случае нет ни дефицита, ни избытка, т. е. удовлетворены интересы всех участников экономики. Возможность существования экономического равновесия находится в обратной зависимости от многообразия (видов) товаров. Чем больше видов, тем сложнее взаимосвязи между ними (например, очевидно, что спрос на чай зависит от наличия кофе, соков, молока и т. д.). Поэтому для получения реальных результатов в математических моделях рассматриваются только основные виды товаров (например, товары, составляющие потребительскую корзину).

Рынки можно классифицировать по различным признакам. В математических моделях часто применяется классификация по числу участников (рис. 1.8 ).

Рис. 1.8. Виды рынков (по числу участников)

В настоящее время можно говорить о том, что для каждого из перечисленных рынков существует своя математическая теория.