31. Функциональные комплексные ряды
Функциональным комплексным рядом называется ряд
где - комплексные функции комплексного переменного, заданные на некотором множестве Е комплексных чисел. В дальнейшем комплексные функции комплексного переменного будем называть комплексными функциями). Сумма называется частичной суммой ряда (6.16).
Определение 6.4.
Комплексный функциональный ряд называется сходящимся в точке множества , если сходится следующий числовой комплексный ряд
(6.17)
где - числа - значения функций в точке .
Определение 6.5.
Функциональный комплексный ряд (6.16) называется сходящимся к функции на множестве Е если он сходится в каждой точке и сумма этого ряда в произвольной точке равна .
Пример 1.
Рассмотрим ряд
(6.18)
который в дальнейшем будем называть геометрическим рядом. Здесь - функции заданные на всем множестве комплексных чисел .
(6.19)
Очевидно вспомогательное тождество
(6.20)
(Тождество хорошо известно для . Используя метод матиндукции, его можно доказать для любого ).
Из (6.20) имеем
Откуда на основании (6.19) имеем
Пусть - любое комплексное число. При функциональный комплексный ряд (6.18) превращается в комплексный числовой ряд
(6.22)
Частичная сумма последнего ряда на основании (6.21) имеет вид
(6.23)
Из (6.23) следует
(6.24)
Отсюда видно, что если , то
при
А это значит, что
при
т.е.
(6.26)
Поскольку - любое комплексное число, модуль которого меньше 1, то мы доказали, что функциональный ряд (6.18) сходится в круге (рис.6.1) к функции которая в этом случае и является суммой функционального ряда в круге .
Очевидно, при -й член ряда (6.18) не стремится к нулю, необходимый признак
сходимости ряда не выполняется, и при ряд (6.18) расходится.
Определение 6.6.
Функциональный ряд (6.16) называется равномерно сходящимся к своей сумме на множестве , если для любого существует , что для всех и всех выполняется неравенство .
Обозначив определение равномерной сходимости ряда (6.16) можно сформулировать так: функциональный ряд называется равномерно сходящимся к своей сумме на множестве , если для любого существует , что для всех и всех выполняется неравенство
Укажем важный для приложений достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 6.3.
Если числовой положительный ряд
сходится и для всех
то функциональный комплексный ряд равномерно сходимся на множестве .
Доказательство.
Так как ряд сходится, то для любого существует такой номер , что при . Из неравенства и сходимости числового положительного ряда имеем, что функциональный ряд сходится абсолютно в каждой точке множества . Учитывая, что при всех , получим
для любого и любого , что и доказывает равномерную сходимость ряда на множестве .
Пример 2.
Покажем, что ряд (6.18) равномерно сходится во всяком круге .
Рассмотрим числовой положительный ряд
где (6.27)
Ряд (6.27) представляет собой геометрическую прогрессию и сходится при 1. В круге имеем
(6.28)
при
По теореме (6.3) в силу (6.28) ряд (6.18) равномерно сходится в круге .
Замечание 1.
Следует заметить, что в круге ряд сходится, но неравномерно. В самом деле,
мы знаем, что в круге ряд (6.18) сходится к сумме , т.е
Имеем также
Отсюда видно, что для любого мы не можем добиться выполнения неравенства
(6.29)
для всех из круга , одновременно, ибо при
а значит при т.е. и неравенство (6.29) невозможно для всех из круга одновременно.
Также, как и для действительных рядов доказываются следующие две теоремы. Теорема 6.4.
Если функциональный комплексный ряд составлен из функций непрерывных на множестве и равномерно сходится на этом множестве, то и сумма ряда
будет функцией непрерывной на множестве .
Доказательство.
Пусть - произвольная точка множества докажем непрерывность суммы ряда в этой точке.
Возьмем произвольное число . Так как функциональный ряд равномерно сходится на множестве , то можно найти такой номер , что для всех и всех выполняется неравенство
где
Зафиксируем теперь какой-нибудь номер и рассмотрим частичную сумму ряда с этим фиксированным номером.
Так как непрерывна в точке , то для числа можно найти такое , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство
Теперь для разности получим
для всех , удовлетворяющих условию
Таким образом, мы доказали, что для любого можно найти такое , что для 2, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Непрерывность в произвольной точке доказана. Этим самым доказана ее непрерывность и на множестве .
Теорема 6.5.
Если составленный из непрерывных функций ряд равномерно сходится в области к сумме то этот ряд можно интегрировать почленно по любой спрямляемой дуге , целиком расположенной в области , т.е.
(6.80)
Доказательство.
Интеграл имеет смысл, так как, по теореме 6.4. непрерывна в .
Так как ряд сходится равномерно в области , то для любого заданного можно указать такой номер что для всех
при
где - длина дуги , a Тогда
что и доказывает теорему.
Пример 3.
(6.31)
Пусть произвольная кривая принадлежащая кругу (рис. 6.2). Функции - непрерывные на всей комплексной плоскости, а значит, и на кривой .
Следовательно,
В предыдущей теореме было отмечено, что при определенных условиях комплексные функциональные ряды можно почленно интегрировать. Возникает вопрос: при каких условиях можно комплексный ряд дифференцировать? Ответ на это вопрос дает следующая теорема.
Теорема 6.6 (Вейерштрасса).
Если функциональный ряд
составлен из функций аналитических в области и равномерно сходится во всяком замкнутом круге , то сумма ряда есть функция аналитическая в области и ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, т.е. для любого , имеем
(6.32)
(6.33)
Доказательство.
Докажем, что при условиях теоремы сумма ряда есть функция аналитическая в области . Пусть - любая точка из области . Построим круг с центром в точке . Пусть - любая спрямляемая замкнутая кривая, которая принадлежит круг (рис.6.3).
По условию теоремы ряд (6.33) равномерно сходится в круге и составлен из аналитических, а значит, непрерывных в области функций.
Тогда по теореме 6.4 сумма ряда есть функция непрерывная, а по теореме 6.5 ряд можно почленно интегрировать по любой замкнутой кривой , т.е.
По теореме Коши для односвязной области имеем :
(6.35)
при
Из (6.34) и (6.35) имеем
(6.36)
для любой замкнутой кривой . Из (6.36) на основании теоремы Морера следует, что в круге функция есть функция аналитическая, а значит в точке функция дифференцируема. Поскольку - произвольная точка из области , то мы получили, что функция дифференцируема в каждой точке области, а это означает аналитичность функции в области .
Первая часть теоремы доказана.
2. Разделим левую и правую части равенства (6.33) и получим
ряд (6.37) в силу равномерной сходимости ряда (6.33) в замкнутом круге будет равномерно сходится на окружности ограничивающей этот круг. Следовательно, по теореме 6.5 ряд (6.37) можно почленно проинтегрировать по кривой .
(6.38)
На основании интегральных формул для производных т-то порядка (см. параграф "Бесконечная дифференцируемость аналитических функций") из (6.38) получим
(6.39)
Так как - произвольная точка области , то из (6.39) мы получили, что в каждой точке области ряд (6.33) можно почленно дифференцировать любое число раз.
Теорема доказана.
- 1. Комплексные числа
- 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- 3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- 4. Комплексной функции комплексного переменного
- 5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- 6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- 7. Предел комплексных функций
- 8.Непрерывность комплексных функций
- 9. Моногенность комплексных функций
- 10. Производная
- 11. Аналитические функции
- 12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- 13. Конформные отображения
- 14. Линейная функция
- 15. Степенная функция с натуральным показателем
- 16. Показательная функция
- 17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- 18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- 19. Гиперболические функции комплексного переменного
- 20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- 21. Обратные тригонометрические функции
- 22. Интегрирование комплексных функций
- Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- 23. Теорема Коши для односвязной области
- 24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- 25. Теорема Коши для многосвязной области
- 26. Формула Коши
- 27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- 28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- 30. Числовые комплексные ряды
- 31. Функциональные комплексные ряды
- 32. Степенные комплексные ряды
- 33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора