23. Теорема Коши для односвязной области

Для формулировки и доказательства теоремы Коши приведем некоторые определения.

Определение 5.5.

Область называется односвязной, если внутренность любой замкнутой кривой , принадлежащей области , состоит только из точек данной области.

Определение 5.6.

Комплексная функция называется аналитической в области и на ее границе , если эта функция аналитична в некоторой области , содержащей область вместе с ее границей .

Теорема 5.1.

Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл по любой спрямляемой замкнутой кривой , принадлежащей области , равен нулю, т.е. (рис. 5.8).

Доказательство .

Доказательство теоремы приведем для случая, когда кривая пересекается прямыми параллельными координатным осям не более чем в двух точках, точках, а частные производные функции непрерывны в области .

Для доказательства теоремы нам потребуется формула Грина:

где - область, ограниченная кривой .

Применим формулу Грина к действительной и мнимой частям правой части формулы

учитывая, что для аналитической функции в области выполняются условия Коши-Римана

Имеем по формуле Грина

так как в области в силу условий Коши-Римана

Аналогично докажем, что

а, значит

Что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Если комплексная функция аналитична в односвязной области и на ее границе , то

В самом деле, если функция аналитична в области и на ее границе , то это означает, что существует область , содержащая область вместе с границей , и при этом в области функция аналитична, а тогда по теореме 5.1. имеем утверждение следствия 1.

Следствие 2.

Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл от этой функции не зависит от пути интегрирования, т.е., если и - любые две точки области , a и - две любые спрямляемые кривые, соединяющие эти точки (рис. 5.9), то

В самом деле по теореме Коши имеем

Используя свойства интегралов, имеем

т.е.

что и требовалось доказать.