25. Теорема Коши для многосвязной области

Всякая неодносвязная область называется многосвязной. Рассмотрим, например, многосвязную область, граница которой состоит из замкнутой кривой (замкнутого контура) и замкнутых контуров лежащих внутри (рис. 5.10). На чертеже у нас

Границу многосвязной области обозначим через .

Интеграл по границе определим равенством

(Замкнутый контур при интегрировании обходится в положительном направлении, контура - в отрицательном).

Теорема 5.4. (Теорема Коши для многосвязной области).

Если комплексная функция аналитична в многосвязной области и на ее границе , то интеграл по границе области равен нулю, т.е.

Доказательство.

Рассмотрим случай (см. рис. 5.10). Проведем дополнительное построение: соединим отрезком кривые и отрезком и , отрезком и . Получим две односвязные области с границей и с границей

По следствию 1 из теоремы Коши для односвязных областей и имеем:

Складывая эти два равенства, получим

Запишем это равенство подробнее:

Учитывая, что

а также, что

получим т.е.

что и требовалось доказать.

Следствие.

При условиях теоремы

В самом деле по теореме имеем

Отсюда

что и требовалось доказать.

Если (рис. 5.11), то последняя формула имеет вид

Пример.

Вычислить интеграл , где лежит внутри . Построим окружность : (рис. 5.12). В области , ограниченной окружностью и кривой , подынтегральная функция аналитична. Она аналитична также на кривых и . Значит по следствию имеем

Но ранее нами доказано , что

Значит

для любой кривой , содержащей внутри себя точку .