30. Числовые комплексные ряды

Определение 6.1.

Числовым комплексным рядом называется выражение следующего вида

(6.1)

где - комплексные числа.

Определение 6.2.

Сумма называется частичной суммой ряда.

Определение 6.2.

Числовой комплексный ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм. Число называется суммой ряда.

Теорема 6.1. (Критерии сходимости числового ряда).

Числовой ряд сходится тогда и только тогда, если последовательность его частичных сумм фундаментальна, т.е. если для любого числа натуральное число такое, что для и любого натурального имеем

(6. 2)

Доказательство.

Необходимость. Допустим, что числовой ряд сходится, тогда сходится последовательность , а тогда по необходимому и достаточному условию сходимости числовых последовательностей будет следовать, что - фундаментальная.

Достаточность. Пусть последовательность - фундаментальная, тогда последовательность сходится, и значит сходится и числовой комплексный ряд (6.1). Теорема доказана.

Замечание 1.

Из условия (6.2) при получаем условие при , т.е.

а значит и

(6. 3)

Условие (6.3), как известно, называют необходимым условием сходимости ряда. Пример 1.

Ряд при расходится, так как

и

Замечание 2.

Очевидно, если комплексный ряд сходится к сумме то одновременно сходятся действительные ряды

(6.4)

(6.5)

к и соответственно.

В самом деле, пусть

для что для всех

(6.6)

(6.7)

при это означает сходимость ряда (6.4) к и ряда (6.5) к . Пусть теперь имеем (6.6) и (6.7), т.е. ряды (6.4) и (6.5) сходятся. Тогда

при , а последнее означает сходимость комплексного ряда к сумме

Определение 6.3'.

Комплексный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(6.8)

Теорема 6.2.

Из абсолютной сходимости комплексного ряда следует его сходимость.

Доказательство.

Дано, что положительный ряд (6.8) сходится.

Но

(6.9)

(6.10)

По признаку сравнения положительных действительных рядов из неравенств (6.9), (6.10) и сходимости ряда (6.8) следует сходимость положительных действительных рядов

(6.11)

(6.12)

Сходимость последних рядов означает абсолютную сходимость рядов

Из теории действительных числовых рядов известно, что если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Итак, ряды (6.4) и (6.5) сходятся, а значит, как мы уже отмечали в данном параграфе, сходится комплексный ряд где .

Замечание 3.

Из неравенств

следует, что абсолютная сходимость комплексного ряда

эквивалентна одновременной абсолютной сходимости действительных рядов.

Следовательно, на абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами переносится теорема о том, что произвольное изменение порядка членов абсолютно сходящегося ряда не влияет на сумму ряда.

Произведением двух комплексных рядов

(6.14)

называется ряд

(6.15)

Если ряды (6.13) и (6.14) абсолютно сходятся, то абсолютно сходится и ряд (6.15), причем для сумм этих рядов имеет место равенство Последнее утверждение доказывается для комплексных рядов также, как и соответствующее утверждение для действительных рядов. Судить об абсолютной сходимости комплексного ряда т.е. о сходимости положительного ряда можно на основании любого признака сходимости рядов с неотрицательными членами, например, с помощью признака Коши.

Пример 2.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов заданного ряда

Применяя к последнему ряду признак Коши, имеем

Следовательно, ряд сходится абсолютно.

Если все члены комплексного ряда не обращаются в нуль, т.е. для то для исследования на абсолютную сходимость комплексного ряда можно применять признак Даламбера.

Пример 3.

Исследовать сходимость ряда

Решение.

Рассмотрим ряд составленный из модулей членов исходного ряда.

Применяя к ряду признак Даламбера, имеем

Следовательно, ряд сходится абсолютно.