27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Теорема 5.6.

Если функция аналитична в односвязной или многосвязной области и на ее границе , то в каждой точке этой области существует производная любого порядка, вычисляемая по формуле

Доказательство.

Пусть . В этом случае ясно, что в силу аналитичности функции в области в каждой точке области производная существует, и нам остается доказать, что для этой производной имеет место формула

Возьмем произвольную точку . По формуле Коши

будем иметь:

Составим отношение

Переходя к пределу под знаком интеграла при получим

что и требовалось доказать. (Нами не обоснован предельный переход под знаком интеграла. Его обоснование можно найти в книге ).

Аналогичным приемом доказывается существование и

формула

Методом математической индукции доказывается существование производной любого порядка и формула

Теорема доказана.

Теорема 5.7, (Mopepa).

Если функция непрерывна в односвязной области и интеграл от по любой спрямляемой замкнутой кривой, лежащей в , равен нулю, то аналитична в .

Доказательство.

По теореме 5.2. функция аналитична в и Но функция, аналитическая в , бесконечное число раз дифференцируема в , т.е., например, в а это означает аналитичность функции в области .

Теорема доказана.