18. Тригонометрические функции комплексного переменного

Тригонометрические функции и определяются следующими равенствами:

; (4.15)

. (4.16)

Это определение естественно, так как при действительном из определения показательной функции (формула (4.7)) имеем ; .

Установим некоторые свойства тригонометрических функций.

1. Тригонометрические функции и определены для всех , так как для всех определена показательная функция .

2. Известные тригонометрические тождества остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексного переменного.

Например,

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Докажем, например, что .

Действительно, имеем

3. Функции , непрерывны во всей комплексной плоскости, так как непрерывна в каждой точке комплексной плоскости функция .

4. Функции и являются периодическими с периодом .

Действительно, имеем

;

.

Докажем, что у функций , периодов, отличных от , , не существует.

В самом деле, если – есть период функции , то .

При получаем . Отсюда следует, что ,

или .

Положим , тогда ,

.

Отсюда следует, что , , , ,

т.е. , и так как , то есть четное число и , ,

5. Функция – нечетная, a – четная, т.е. ; .

Эти равенства легко проверить, если воспользоваться формулами (4.15) и (4.16).

6. Функции и являются аналитическими во всей комплексной плоскости.

Проверим это, например, для функции . Выделим действительную и мнимую части функции :

.

Отсюда имеем, что ; . (4.17)

Легко проверить, что условия Коши-Римана ;

выполняются для всех . Так как функции и имеют непрерывные частные производные и условия Коши-Римана выполняются для всех , то функция является аналитической во всей комплексной плоскости.

По формуле – вычислим производную функции .

.

Аналогичным образом доказывается, что .

7. Некоторые свойства тригонометрических функций не сохраняются при переходе от действительного аргумента к комплексному. Может оказаться, что или .

В самом деле

,

при стремится к и, следовательно, принимает сколь угодно большое значение. Другими словами функции и неограничены во всей комплексной плоскости.

8. Уравнения и имеют решения только при , т.е. только на действительной оси. Следовательно, , если , , а , если , ,.

В самом деле, пусть . (4.18)

Тогда из (4.17) следует, что , т.е.

.

Отсюда имеем .

Из первого уравнения системы следует, что , так как для любого . Из второго уравнения системы получим, что , так как при . Но тогда и только тогда, когда .

Таким образом, , .

Функции и определяются формулами: ; .

Так как при , , то в этих точках функция не определена. Аналогичным образом функция определена всюду на комплексной плоскости, кроме точек , .