Тема 15. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Застосуваня частинних похідних
Мета. Оволодіти апаратом частинних похідних для розв’язування деяких прикладних задач.
План.
Частинні похідні та диференціали вищих порядків.
Поняття про екстремум функції 2-ох незалежних змінних.
Умовний екстремум. Найбільше і найменше значення функції.
1.Частинні похідні функції від кількох змінних є в свою чергу функціями від тих самих змінних, тому від них також можна визначити частинні похідні. Таким чином ми отримуємо частинні похідні 2-го порядку. Диференціювання таких частинних похідних 2-го порядку приведе в свою чергу до частинних похідних 3-го порядку і т.д.
У випадку функції змінних z=f(x;y) отримаємо:
частинні похідні 1-го порядку:
(1)
частинні похідні 2-го порядку:
; (2)
.
Для таких похідних використовуються також позначення:
(3)
Друга і четверта похідні в (2) і (3) називаються мішаними.
Без доведння приймемо теорему 1:
Якщо частинні похідні вищого порядку неперервні, то мішані похідні одного і того ж порядку, що відрізняються тільки порядком диференціювання, рівні між собою.
Приклад. Обчислити часинні похідні до 3-го порядку включно для функції
U=x4+x2y2+y5+1.
Розв’язування.
(Порівняйте 2-гу і 3-тю формули).
Диференціалом другого порядку від функції z=f(x;y) називають диференціал від її повного диференціалу
d2z=d(dz). (4)
Аналогічно:
d3z=d(d2z);
dnz=d(dn-1z).
Якщо x,y -незалежні змінні і функція має неперервні частинні похідні, то справедливі формули:
і взагалі, має місце символічна формула:
(5)
яка розкривається по біномінальному закону.
Якщо ж x i y- функції від однієї чи декількох незалежних змінних, то повний диференціал другого порядку шукається з застосуванням (4)
. (6)
Приклад. Знайти повні диференціали 1-го і 2-го порядків для
z=4x2-6xy+5y2.Розв’язування.
,
.
Далі
,
2.Означення. Функція z=f(x;y) має максимум (мінімум) в точці М(x0;y0), якщо в її околі (f(x;y)<f(x0;y0)).
Це означення поширюється і на функції більшої кількості змінних.
Максимуми і мінімуми функції називаються екстремумами, а точки в яких вони досягаються – точками екстремуму.
Зрозуміло, що якщо у функції f зафіксувати всі змінні, крім однієї, то отримаємо функцію однієї змінної, яка буде мати екстремум там же, що й функція кількох змінних. Звідси слідує, що в цій точці значення відповідної частинної похідної або дорівнює 0, або не існує.
Для знаходження екстремумів:
Знаходимо критичні точки, тобто ті в яких частинні похідні 1-го порядку рівні нулеві: (якщо всі частинні похідні = 0, то така точка є стаціонарною) або не існують.
Визначаємо величини:
.
Складаємо детермінант =АС-В2.
Якщо >0, то функція має в М0 – екстремум. А саме: якщо А>0 (чи С>0) – мінімум; якщо А<0 (чи C>0) – мінімум; якщо А<0 (чи C<0) – максимум.
Якщо <0, то в точці М0 екстремуму немає.
Якщо =0, то проблема потребує додаткових досліджень.
Приклад. Знайти екстремум функції
z=x2+xy+y2-3x-6y
Розв’язування.
Знаходим стаціонарні точки: М(0;3)
=2.2-1=3>0; A>0
в т. М0(0;3) z=x2+xy+y2-3x-6y має мінімум.
Zmin=02+0.3+3.0-6.3=9-18=-9.
3. Означення. Умовним екстремумом функції z=f(x;y) називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що х i y зв‘язані рівнянням зв’язку (х,у)=0.
Його знаходження зведемо до дослідження на звичайний екстремум функції Лагранжа , де-невизначений множник.
Тоді маємо систему
Звідси знайдемо х, у, .
Для знаходження найбільшого і найменшого значення в замкнутій області потрібно:
Знайти стаціонарні точки в цій області і обчислити значення функцій в цих точках;
Знайти найбільше і найменше значення на границі області;
З всіх значень вибрати найбільше і найменше.
Приклад. Знайти екстремуми z=xy, якщо х і у зв’язані рівнянням
2х+3у-5=0.
Розв’язування.
u=xy+(2x+3y-5)
.
- Пояснювальна записка
- Розділ 1. Матриці та вектори
- Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця.
- Контрольні запитання
- Тема 2. Системи лінійних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 3. Довільні системи лінійних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 4. Елементи векторної алгебри
- Контрольні запитання
- Розділ 2. Основи аналітичної геометрії
- Тема 5. Пряма лінія на площині
- Контрольні запитання
- Тема 6. Криві другого порядку
- Контрольні запитання
- Тема 7. Площина та її рівняння
- Видно, що ,( тобто площина паралельна до осіOx.
- 4. Кут між двома площинами.
- Нехай маємо площину задану нормальним рівнянням
- Контрольні запитання
- Тема 8. Пряма в просторі
- Контрольні запитання
- Розділ 3. Вступ до математичного аналізу Тема 9. Функція та її границя. Основні теореми про границю.
- Контрольні запитання
- Тема 10. Неперервність функції в точці
- Контрольні запитання
- Контрольні запитання
- Тема 12. Диференціал функції. Похідні вищих порядків
- Контрольні запитання
- Тема 13. Дослідження функцій за допомогою похідної
- Контрольні запитання
- Розділ 5. Функції багатьох змінних
- Тема 14. Границя функції багатьох змінних
- Контрольні запитання
- Тема 15. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Застосуваня частинних похідних
- Контрольні запитання
- Розділ 6. Інтегрування функції однієї змінної
- Тема 16. Первісна функція та неозначений інтеграл
- 3. Таблиця основних інтегралів
- Контрольні запитання
- Тема 17. Визначений інтеграл та його обчислення
- Скориставшись цим, маємо
- Таким чином
- Розв’язування. В силу симетрії кривої визначаєм спочатку одну чверть шуканої площі
- Контрольні запитання
- Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння
- Тема 19. Поняття про диференціальні рівняння, рівняння з відокремлюваними змінними
- Основна задача теорії інтегрування диференціальних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 20. Диференціальні рівняння 1-го порядку
- Диференціальне рівняння
- Контрольні запитання
- Тема 21. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами
- Контрольні запитання
- Перелік рекомендованої літератури
- Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця 4с.