§ 1. Векторные пространства

Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье.

Рассмотрим множество  геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов.

Введем в пространстве  ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов ,и. Произвольный векторявляется линейной комбинацией векторов базиса:

. (1.1)

Коэффициенты _i (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора относительно базиса, могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектораи одного из векторов базиса

.

В силу ортогональности базиса скалярные произведения при, следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее, поэтому, откуда

, (1.2)

где .

Если векторы изаданы своими координатамии, то их скалярное произведение

.

Так как при скалярное произведение, то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому

. (1.3)

В частности при из (1.3) следует

. (1.4)