1.1. Математические предложения. Теоремы.
В логике выделяются следующие формы мышления: понятия, суждения, умозаключения.
В курсе общей методики уже рассматривались понятия, умозаключения будут проанализированы далее. Рассмотрим, что такое суждение.
Суждение – форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов и явлений, их свойств и отношений; оно может быть истинным или ложным.
В математике суждение называют математическим предложением.
Математические предложения либо принимаются за истинные без доказательства и тогда являются аксиомами, либо их истинность устанавливается после соответствующего логического обоснования – доказательства. В этом случае математическое предложение называется теоремой.
Термин «Теорема» происходит от греческого слова «Τεορεμα» – представление, зрелище, так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях. Доказательсчтва носили характер спора, диспута.
Структура теоремы. Теорема состоит из двух основных частей – условия и заключения; на языке логики p q, где р – условие, q – заключение, знак следования.
Для словесного выражения теоремы обычно используют две формы суждений.
1. Категорическую.
Пример. Формулировка теоремы Пифагора: “Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы” ;1
2. Условную.
Пример. Признак равенства треугольников: “Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .
Таким образом, в условной форме используется словесная модель “Если ... , то ...”, которая с методической точки зрения значительно удобнее категорической: в ней уже выделены условие (то, что следует за словом “если”) и заключение (то, что следует за словом “то”).
Форма суждений достаточно легко меняется без изменения их содержания. Учителю следует упражнять учащихся в переводе категорической формы в условную, так как это один из эффективных приемов выделения условия и заключения теоремы.
Виды теорем. Имея некоторую теорему 1) p q и считая ее прямой, можно образовать следующие виды теорем:
2) q р – обратная,
3) 2 – противоположная,
4) – обратная противоположной.
Пример. Теорема: “Вертикальные углы равны”. Переведем категорическую форму в условную: 1) Если углы вертикальны, то они равны;
2) Если углы равны, то они вертикальны,
3) Если углы не вертикальны, то они не равны;
4) Если углы не равны, то они не вертикальны .
Нетрудно убедиться, что теоремы 1 и 4, а также 2 и 3 равносильны (если истинна одна, то истинна и другая), чего не скажешь о других парах.
В курсе планиметрии изучаются только прямые и обратные теоремы. Учителю необходимо специально поработать над этими понятиями, так как учащиеся часто ссылаются на обратную теорему вместо прямой и наоборот (особенно часто так используют теоремы Виета и Пифагора и обратные им).
С понятиями прямой и обратной теорем тесно связаны необходимые и достаточные условия. Однако мы опустим этот материал, так как в курсе планиметрии необходимые и достаточные условия явно не используются.
Теоремы можно классифицировать также по характеру их использования в курсе геометрии. С этой точки зрения принято выделять:
1) теоремы существования, которые утверждают существование того или иного объекта;
2) теоремы единственности, которые утверждают, что существующий объект единственен;
3) теоремы-признаки, определяющие условия, при которых рассматриваемый объект относится к определенному классу объектов;
4) теоремы-свойства, которые описывают свойства данного объекта.
В школьном курсе планиметрии явно не изучаются теоремы существования и единственности. Поэтому приведем примеры только теорем-признаков и теорем-свойств.
Пример 1. Теорема-признак: “Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .
Пример 2. Теорема-свойство: “В равных треугольниках против равных сторон лежат и равные углы” .
Теоремы-признаки и теоремы-свойства играют очень большую роль в изучении планиметрии, так как имеют различные функции.
Не вдаваясь в тонкости этой классификации, учитель должен специально выделять теоремы-признаки, подчеркивая, что с их помощью можно определить, принадлежит ли фигура, обладающая теми или иными свойствами, к определенному классу фигур.
- Математические предложения и их доказательства в курсе геометрии основной школы ростов-на-дону
- I модуль теоретический Материалы к лекционным занятиям
- 1.1. Математические предложения. Теоремы.
- 1.2. Доказательства в курсе геометрии основной школы
- 1.3. Индукция и дедукция как основные приемы обоснования математических предложений
- 2. Методика обучения доказательству теорем
- 2.1. Воспитание потребности в логическом доказательстве
- 2.2. Методика изучения конкретной теоремы
- 2.2.1. Организационные приемы работы по изучению и закреплению теоремы на уроке геометрии. Приемы организации работы по изучению теорем.
- 2.3. Пример работы над теоремой о средней линии трапеции.
- Доказать, что вн – высота трапеции
- Индивидуальные задания
- Контрольные вопросы и задания к теоретическому материалу (модуль 1)
- Диагностико-квалиметрическая шкала оценивания достижений студентов
- II модуль. Практический. Материалы к практическим и