2.1. Воспитание потребности в логическом доказательстве

В начале изучения геометрии в основной школе происходит переход к строгим логическим обоснованиям математических предложений. Этот переход всегда вызывал и вызывает значительные трудности: учащиеся не только не усваивают идеидоказательства, плохо отыскивают последовательность шагов, но и не видят надобности в самом логическом доказательстве, особенно если доказываемый факт наглядный.

Причины этого явления кроются в том, что до седьмого класса мы ограничиваемся индуктивными обоснованиями. Поэтому для учащихся достаточно чертежа, из которого и так все ясно. Одной из проблем школьных учебников по геометрии является то, что в них совершенно не показано, как думало человечество, создавая ту или иную теорию, более того, там нет попыток показать, как думал математик, создавая то ил иное доказательство, и уже практически совсем нет попыток учить ученика рассуждать и доказывать.

Для воспитания потребности в логическом доказательстве необходимо организовать специальную работу в 5-6 классах, показав преимущества логического обоснования по сравнению с другими.¹

Кратко охарактеризуем основные приемы этой работы.

1. Воспитание критического отношения к заключениям, основанным на неполной индукции.

Пример. Справедливо ли “свойство” обыкновенных дробей: если числитель и знаменатель содержит одинаковую цифру, то на нее “можно” сократить?

Учитель приводит “примеры"

После чего показывает, что эти примеры специально подобраны, в общем случае это несправедливо .

2. Полезно использовать особенности зрительных восприятий, показывая, что нельзя доверять простым зрительным впечатлениям.

Пример. Какой отрезок длиннее? <––––––>

>­­­––––––< 

3. Уместно показать относительность результатов измерений.

Пример. Проанализировать предложение “Длина отрезка АВ равна 25 см”, вызвав к доске для измерения одного и того же отрезка учеников с линейками, шкалы которых различны. 

В методической литературе выделяют несколько уровней обучения доказательству. Первый уровень рассмотрен выше: он должен включать формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получить новые предложения. Следующий, второй уровень, должен характеризовать умения школьников выполнять цепочки дедуктивных умозаключений и применять эвристические приемы. На этом уровне следует формировать действия преобразования заключение теоремы в равносильное ему, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий и т.д. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска доказательства. Данный уровень по характеру своих действий наиболее свойственен первым разделам курса планиметрии, которые содержат и многие эвристики, основанные на ассоциациях «равенство отрезков – равенство треугольников», и т.д. Формированию эвристик учитель должен уделить самое серьезное внимание.

Обучение анализу доказательства, выделению логических шагов, поиску и устранению логических пробелов, развертыванию дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделению идеи доказательства и его воспроизведению, применение эвристических приемов – составляет содержание третьего уровня обучения школьников доказательству.

Умение использовать методы научного познания и умение самостоятельно выполнять доказательство можно считать содержанием четвертого уровня работы с доказательством. На этом уровне осуществляются доказательства по аналогии, с использованием обобщения и т.д. Он соответствует программе 7-8 классов.

Содержание пятого уровня обучения доказательству составляет обучение умению опровергать предложенные доказательства. С точки зрения методики обучение умению опровергать предложенные доказательства очень важно.

Таким образом, под обучением доказательству можно понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств.