1.2. Доказательства в курсе геометрии основной школы

Прежде чем говорить о доказательстве, продолжим характеристику основных форм мышления. Введем некоторые необходимые понятия.

Умозаключением называется процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений.¹

Силлогизм – это умозаключение, в котором на основании двух суждений (большей посылки и меньшей посылки) выводится третье суждение (вывод, заключение).

Большая посылка – это некоторое общее суждение (аксиома, теорема, определение, допущение и т. д.); меньшая посылка – частное суждение.

Пример. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (общее суждение).

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁ (частное суждение).

Треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁ (новое суждение-вывод) .

Теперь мы в состоянии принять рабочее понятие доказательства, достаточное для нужд школьного курса планиметрии.

Доказательство – логическое действие, в процессе которого истинность какого-либо математического предложения обосновывается с помощью других предложений, признанных истинными. Это действие обычно представляет собой цепочку силлогизмов.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

Тезис, установить истинность которого – главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение.

Аргументы (основания) доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

К тезису, аргументам и демонстрации предъявляют определенные требования, нарушение которых приводит к ошибкам в доказательствах.

Требования к доказываемому предложению (тезису):

– тезис должен быть сформулирован ясно и определенно. Пример небрежной формулировки тезиса: большей дуге соответствует большая хорда (это справедливо для дуг одной и той же или равных окружностей и при условии, что большая дуга меньше полуокружности);

– тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства.

Требования к аргументам:

– аргументы доказательства должны быть суждениями истинными и доказанными.

– аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса.

К типичным случаям нарушения первого требования относят:

а) использование в качестве аргумента доказательства такого положения, которое само нуждается в доказательстве;

б) использование в качестве аргумента доказательства ложного суждения;

в) использование в качестве основания суждения, с помощью которого можно доказать не только данный тезис, но и заведомо ложные утверждения.

В демонстрации, т.е. в переходе от аргументов к тезису, также возможны ошибки, обусловленные нарушением правила вывода, используемых в этом переходе. Различают ошибки двух видов:

– тезис не вытекает из аргументов, а произвольно присоединяется к ним;

– тезис выведен из аргументов путем ошибочного умозаключения.

Очевидно, что число таких ошибок уменьшилось, если бы правила вывода были предметом изучения в школе.

Методы доказательства теорем.

По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.

Методы прямого доказательства:

– синтетический,

– аналитический,

– метод математической индукции.

Синтетический метод: при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.

Пример. Теорема о хордах окружности.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.

Доказать: АЕВЕ = СЕДЕ. (1)

Доказательство (синтетическое)

Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников АДЕ ~ СВЕ. Отсюда следует, что , или АЕВЕ = СЕДЕ. Теорема доказана .

Аналитический метод: при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.

Пример. Теорема о хордах окружности.

Доказательство (аналитическое)

Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).

Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.

Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что АДЕ ~ СВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: 1 = 2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а 3 = 4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .

Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:

1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;

2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;

3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.

Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.

Косвенное доказательство: истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.

Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного.

Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р  q) доказывается обратная противоположной теорема ().

Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:

1) пусть неверно q, то есть истинно ;

2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;

3) убедились, что из ;

4) следовательно, р  q (в силу равносильности импликаций р  q и ), что и требовалось доказать.

Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.

Алгоритм доказательства от противного.

1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.

2. Вычленяем возможные случаи.

3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:

– условию теоремы,

– ранее установленным математическим фактам.

4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.

5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.

Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.

Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:

1) метод геометрических преобразований: эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;

2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.

Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можноговорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.

Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.