3 Однородные дифференциальные уравнения

Функция f(x, y) называется однородной функцией нулевой степени, если для любого t ≠ 0 выполняется равенство

f(tx, ty) = f(x,y). (3.1)

Уравнение (1.2) называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если f(x, y) есть однородная функция нулевой степени.

Тогда уравнение (1.2) можно привести к виду

. (3.2)

Решение таких уравнений осуществляется с помощью замены переменной

, (3.3)

где u – новая функция переменной х.

Дифференцируя выражение y = ux, получаем .

Подставляя y = ux и в (3.2), получаем:

,

где Ф(u) = φ(u) – u. Переменные разделяются:

.

Общее решение «в квадратурах» выглядит следующим образом:

,

где С – произвольная постоянная (С > 0).

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Уравнение является однородным, так как в правой части равенства стоит функция переменной . С помощью замены (3.3) уравнение принимает вид . Преобразуя и разделяя переменные, получаем .

Проинтегрируем левую часть последнего равенства:

.

Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получаем

= + ln С₁ (С₁ > 0).

Учитывая, что , окончательно имеем

= .

Получено решение в неявном виде.