2.1 Поэтапно-вычислительный метод.

При решении стереометрических задач используют метод, который называют поэтапно-вычислительным или методом прямого счёта. Он является разновидностью алгебраического метода. При поэтапном решении последовательно вычисляются промежуточные величины, с помощью которых искомые величины связываются с данными.

Опорные задачи, используемые при решении стереометрических задач.(все рисунки к опорным задачам расположены в приложении №1)

1. Координаты точки M(x, y, z) , делящей отрезок между точками ( , ) и , ) в отношении М : М = λ определяются формулами

Х= ; У= ; Z=

2. Трехгранным углом называется фигура, состоящая из нескольких лучей OA, OB, OC , выходящих из одной точки O и не лежащих в одной плоскости, и из плоских углов AOB, BOC, AOC между этими лучами. Точка O называется вершиной трехгранного угла.(рисунок№1)

Теорема. Во всяком трехгранном угле, плоские углы которого равны α,β и γ , а двугранные углы, противолежащие им соответственно равны , и имеют место следующие равенства

cos , cos = , cos = .

3. Теорема («о трех косинусах»).

Пусть, α- величина угла между наклонной l и ее проекцией на некоторую плоскость, β -величина угла между проекцией наклонной l и прямой, проведенной через основание той же наклонной в плоскости проекции, и γ - величина угла между наклонной l и прямой, проведенной через ее основание в плоскости проекции. Тогда справедливо следующее соотношение cos γ=cosαcosβ. (рисунок №2)

4. Теорема («о трех синусах»). Пусть в одной из граней двугранного угла, величина которого равна α , проведена прямая, составляющая с ребром двугранного угла угол β

( 0 <β < ), γ – величина угла между этой прямой и другой гранью. Тогда справедливо следующее соотношение:

sin γ= sinαsinβ .(рисунок №3)

5. Если некоторая прямая образует с тремя попарно перпендикулярными прямыми углы

α , β и γ, то выполняется равенство α+ β+ γ=1. (рисунок №4)

6. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции

=Scosφ, где S- площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, а - это площадь его ортогональной проекции на плоскость β. (рисунок №5)

7. Если вершины А, В, D и параллелепипеда АВСД являются вершинами тетраэдра, то имеет место равенство = .

8. Если вершины А, В, С и D параллелепипеда AKBMQCLD являются вершинами тетраэдра, то имеет место равенство

= .

9. Пусть a и b – длины двух противоположных ребер тетраэдра, d – расстояние, φ – угол между ними. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле V= abdsinφ. (рисунок № 6)

10. Пусть q – площадь одной из боковых граней треугольной призмы, d – расстояние от противоположного ребра до этой грани. Тогда объем этой призмы вычисляется по формуле: V = qd.

11. Пусть p и q – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра, α– величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле V= . (рисунок №7)

12. Пусть в пирамиде MABC на ребрах MA, MB и MC или на их продолжениях взяты соответственно точки , , , ,

так, что M :MA = k , M :MB = m, M :MC = n 1 . Тогда объемы пирамид M и MABC связаны формулой

= k mn (рисунок 8)

13. Объем треугольного призматического тела АВС , ограниченного треугольниками ABC и ,, можно

вычислить по формуле = .

где плоскость АВС перпендикулярна ребрам призматической поверхности, A ≤B ≤C .(рисунок №9)

14. Объем треугольного призматического тела

, , ограниченного треугольниками , можно вычислить по формуле =

где плоскость АВС перпендикулярна ребрам призматической поверхности.

15. Если в двух пирамидах, имеющих по равному двугранному углу при основании, равны также и ребра этих углов, то отно-

шение объемов этих пирамид равно отношению произведений площадей граней, образующих равные двугранные углы.

16. Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее другую пирамиду, подобную данной.

17. Поверхности подобных многогранников относятся как квадраты сходственных линейных элементов многогранников.

18. Объемы подобных многогранников относятся как кубы сходственных линейных элементов этих многогранников.

19. Квадраты объемов подобных многогранников относятся как кубы площадей сходственных граней.

20. Плоскости BDC1 и A перпендикулярны диагонали C куба АВСД и делят ее на три равные части.

21. Сечение, проходящее через диагональ параллелепипеда, делит его противоположные ребра, пересекаемые плоскостью сечения, в обратном отношении, считая от любой грани, из которой выходят эти ребра, а сам параллелепипед – на два равновеликих многогранника.