3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Пусть , а , тогда из рис. 1.3 легко видеть, что , , если , так как являются декартовыми прямоугольными координатами точки , , , полярными координатами этой точки, при условии, конечно, что полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс, а полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой системы координат. Теперь мы видим, что всякое комплексное число можно представить в виде
. (1.2)
Запись комплексного числа в виде (1.2) называется тригонометрической формой комплексного числа.
Очевидно, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на числа кратные .
Пример 1.
Найти и представить комплексное число в тригонометрической форме.
Решение.
И зобразим число на плоскости (рис. 1.4).
Очевидно, угол является одним из значений и при этом , т.е. является главным значением аргумента комплексного числа .
; .
.
Теперь число можно представить в тригонометрической форме
.
Комплексное число обозначается символом т.е.
. (1.3)
Как легко заметить, что формула (1.3) дает возможность определить комплексную функцию действительного переменного . В частности, , , , . Полагая в форме (1.3) вместо , получим
. (1.4)
Сложением и вычитанием (1.3) и (1.4) получим:
; (1.5)
. (1.6)
Формулы (1.3)–(1.6) называются формулами Эйлера.
Отметим некоторые свойства функции :
; (1.8)
; (1.8)
, . (1.9)
Докажем равенство (1.7).
Имеем
.
Аналогично проверяется (1.8). Равенство (1.9) получается из равенств (1.7) и (1.8) по индукции.
Из (1.9) и (1.3) вытекает формула Муавра
, .
Из формул (1.2) и (1.3) следует, что любое комплексное число можно представить в виде
, (1.10)
где , .
Запись комплексного числа в виде (1.10) называется показательной формой комплексного числа.
С помощью равенств (1.7) и (1.8) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:
; (1.11)
. (1.12)
Из формулы (1.11) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел
,
а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения: если , , то
. (1.13)
Аналогично из формулы (1.12) вытекает, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел
, ,
а разность аргументов делимого и делителя является аргументом, частного: если , , то
. (1.14)
Пример 2.
.
- 1. Комплексные числа
- 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- 3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- 4. Комплексной функции комплексного переменного
- 5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- 6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- 7. Предел комплексных функций
- 8.Непрерывность комплексных функций
- 9. Моногенность комплексных функций
- 10. Производная
- 11. Аналитические функции
- 12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- 13. Конформные отображения
- 14. Линейная функция
- 15. Степенная функция с натуральным показателем
- 16. Показательная функция
- 17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- 18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- 19. Гиперболические функции комплексного переменного
- 20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- 21. Обратные тригонометрические функции
- 22. Интегрирование комплексных функций
- Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- 23. Теорема Коши для односвязной области
- 24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- 25. Теорема Коши для многосвязной области
- 26. Формула Коши
- 27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- 28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- 30. Числовые комплексные ряды
- 31. Функциональные комплексные ряды
- 32. Степенные комплексные ряды
- 33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора