Необходимый признак сходимости ряда

Свойство 4. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при, т.е..

Пусть ряд сходится и его сумма равна , т.е.. Очевидно, что, кроме того. Поэтому.

Здесь установили только необходимое условие сходимости. Если оно не выполняется, то ряд заведомо расходится.

Пример .3. Исследовать сходимость ряда .

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд точно расходится.

Найдем ‑‑ необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

Пример .4. Исследовать сходимость (гармонического) ряда .

Для гармонического ряда выполняется необходимое условие сходимости, т.е. . Покажем, что он все же расходится. Будем доказывать от противного. Предположим, что ряд сходится и. Тогда, очевидно, и, следовательно,. Однако, т.е., а это противоречит условию сходимости гармонического ряда. Полученное противоречие означает, что наше предположение о сходимости гармонического ряда неверно.

Свойство 5. Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. при любомn.