3. Таблиця основних інтегралів
Кожна формула з таблиці похідних має відповідну формулу в таблиці інтегралів.
. 7. .
. 8. .
. 9. .
. 10. .
. 11. .
. 12. .
Додатково варто знати формули
13. . 14..
15. . 16..
Правильність усіх формул перевіряється диференціюванням їх правих частин.
Є три основні методи інтегрування функцій: метод розкладу, метод заміни змінної та метод інтегрування за частинами.
Метод розкладу.
Справедливі наступні твердження.
Теорема 1. Якщо функції мають первісні на проміжку(a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:
(1)
Теорема 2. Якщо функція має первісну на проміжку(a,b), то на цьому проміжку має первісну і функція і справедлива рівність:
, k0 (2)
Наслідок. Якщо функції мають первісні на проміжку(a,b), то на цьому проміжку мають первісну і функції і справедлива рівність:
(3)
Метод інтегрування з використанням теорем 1,2 та наслідку називають методом розкладу.
Метод заміни змінної.
Теорема 3. Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на проміжку (a, b) і якщо функція x=(x) диференційована на проміжку (, ), причому складена функція F((t)) визначена на проміжку (, ), то функція f( (t))’(t) на проміжку (, ) має первісну, причому
. (4)
Метод інтегрування за допомогою теореми 3 називається методом інтегрування способом заміни змінної.
Приклад.
Метод інтегрування частинами.
Теорема 4. Якщо функції диференційовні на проміжку (a,b) і на цьому проміжку існує первісна для функції , то на проміжку(a, b) існує первісна і для функції і має місце рівність
. (5)
До правої частини ми не додали довільної сталої С, оскільки така стала міститься в іннтегралі .
Формула (5) називається формулою інтегрування частинами, а метод інтегрування, що грунтується нга ній – методом інтегрування частинами.
Розглянемо приклад.
,
позначивши , отримаємо
.
Деколи цю формулу птрібно застосовувати декілька разів.
.
Попутно зауважимо, що для обчислення більшості інтегралів потрібно, як правило, застосовувати різні методи.
- Пояснювальна записка
- Розділ 1. Матриці та вектори
- Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця.
- Контрольні запитання
- Тема 2. Системи лінійних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 3. Довільні системи лінійних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 4. Елементи векторної алгебри
- Контрольні запитання
- Розділ 2. Основи аналітичної геометрії
- Тема 5. Пряма лінія на площині
- Контрольні запитання
- Тема 6. Криві другого порядку
- Контрольні запитання
- Тема 7. Площина та її рівняння
- Видно, що ,( тобто площина паралельна до осіOx.
- 4. Кут між двома площинами.
- Нехай маємо площину задану нормальним рівнянням
- Контрольні запитання
- Тема 8. Пряма в просторі
- Контрольні запитання
- Розділ 3. Вступ до математичного аналізу Тема 9. Функція та її границя. Основні теореми про границю.
- Контрольні запитання
- Тема 10. Неперервність функції в точці
- Контрольні запитання
- Контрольні запитання
- Тема 12. Диференціал функції. Похідні вищих порядків
- Контрольні запитання
- Тема 13. Дослідження функцій за допомогою похідної
- Контрольні запитання
- Розділ 5. Функції багатьох змінних
- Тема 14. Границя функції багатьох змінних
- Контрольні запитання
- Тема 15. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Застосуваня частинних похідних
- Контрольні запитання
- Розділ 6. Інтегрування функції однієї змінної
- Тема 16. Первісна функція та неозначений інтеграл
- 3. Таблиця основних інтегралів
- Контрольні запитання
- Тема 17. Визначений інтеграл та його обчислення
- Скориставшись цим, маємо
- Таким чином
- Розв’язування. В силу симетрії кривої визначаєм спочатку одну чверть шуканої площі
- Контрольні запитання
- Розділ 7. Звичайні диференціальні рівняння
- Тема 19. Поняття про диференціальні рівняння, рівняння з відокремлюваними змінними
- Основна задача теорії інтегрування диференціальних рівнянь
- Контрольні запитання
- Тема 20. Диференціальні рівняння 1-го порядку
- Диференціальне рівняння
- Контрольні запитання
- Тема 21. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами
- Контрольні запитання
- Перелік рекомендованої літератури
- Тема 1. Матриці та визначники. Мінори. Обернена матриця 4с.