§ 17. Формула разложения Хевисайда

Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.

Теорема. Пусть, гдеи– дифференцируемые функции. Введемкак полюсы функции, т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если, получим формулу Хевисайда:

. (17.1)

Доказательство проведем для случая, когда и– многочлены степенейт и п соответственно, при этом т  п. Тогда – правильная рациональная дробь. Представимв виде суммы простейших дробей:

. (17.2)

Отсюда Коэффициентынайдем из тождества (17.2), переписав его в виде

,

где

.

Умножим обе части последнего равенства на и перейдем к пределу при. Учитывая, чтои, получим

,

откуда и следует (17.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов ивещественны, то комплексные корни многочленапопарносопряжены. Следовательно, в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена , и формула Хевисайда примет вид

, (17.3)

где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена , вторая – на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.

Замечание 2. Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание , где. Таким образом, вещественным корням () соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями – затухающие колебания, чисто мнимым корням– незатухающие гармонические колебания.

Если знаменатель не имеет корней с положительнымивещественными частями , то при достаточно больших значениях получим установившийся режим:

, (17.4)

где

;

–чисто мнимые корни многочлена с положительными мнимыми частями.

Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при и поэтому не входят в установившийся режим.

Пример 1. Найти оригинал изображения

.

Решение. Имеем . Выпишем корни многочлена:.

По формуле (17.1)

.

Здесь ,, так как числа– корни уравнения. Следовательно,

.

Пример 2. Найти оригинал изображения

,

где а  0; .

Решение. Здесь функция , помимо очевидного корня, имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции. Решая уравнение, получим, откуда.

Таким образом, корни знаменателя имеют види, где

Далее запишем

;

;

По формуле (17.3) находим оригинал