Метод спектрального разложения для уравнения лиувилля

Уравнение с постоянными коэффициентами и областью определения описывает однородную систему и решается методом Фурье-преобразования, т. е. путем разложения уравнения по базису гармонических функций.

Если коэффициенты уравнения являются функциями , где, и/или область определения конечная, то используется метод спектрального разложения, обобщающий метод Фурье. Разложение ведется по ортонормированному базису функций, удовлетворяющих однородному уравнению. Такой базис образуют решения уравнения Лиувилля, для которого выполняется

.

Уравнение имеет вид

, (9.27)

где ;– вещественные;– весовая функция; число – собственное значение; частное решение –собственная функция, в общем случае комплексная. Множество считаем известным.