Теорема Грина для уравнения Лиувилля

Для выражения , входящего в (9.19)

, ,

выполняется

(9.24в)

Доказательство:

Подставляем (9.24а)

в (9.20б)

.

С учетом

получаем

.

В результате для варианта 1 граничных условий функция Грина (9.23) и решение неоднородного уравнения (9.22) получают вид

(9.24г)

.

Пример

Струна длиной l расположена вдоль оси x и закреплена на концах. Колебания в виде поперечных смещений струны с постоянным волновым числомK удовлетворяют уравнению

и граничными условиями

.

Найдем функцию Грина и получим решение возмущенного уравнения

,

где – плотность возмущения.

Рассматриваемая система не является однородной из-за ограниченности размера струны . Для решения задачи используем метод сшивания.

Однородное уравнение

имеет общее решение

.

Выбираем два частных линейно независимых решения

,

,

для которых выполняется вариант 1 граничных условий закрепления струны на концах

, .

С учетом

,

,

,

,

получаем

.

Выполняется теорема Грина (9.24в)

.

Из (9.23)

при

, ,

находим

(П.10.1)

Для неоднородного уравнения решение в виде интеграла Дюамеля (9.6)

равно

,

и удовлетворяет граничным условиям закрепленной струны

.

При выполнении

, ,,

на протяжении струны укладывается целое число полуволн, в струне возникает стоячая волна с амплитудой, меняющейся периодически от точки к точке. В этом случае решения однородного уравнения линейно зависимые

, ,

условие применимости метода «сшивания» не выполняется, формула (П.10.1) не применима.