СпектральноЕ разложениЕ с НепрерывнЫм спектрОм

Теория с непрерывным спектром строится аналогично теории с дискретным спектром.

Если в уравнении Лиувилля

параметры и μ изменяются непрерывно, то множество решений образует непрерывный базисс условием ортонормированности, выраженным через дельта-функцию:

. (9.39)

Доказательство:

Однородное уравнение (9.27), записанное для и для, умножаем слева соответственно наи на

,

.

Взаимно вычитаем равенства, третьи слагаемые переносим направо

.

Интегрируем по интервалу . Граничные условия (9.2)

,

, ,

для левой части дают

.

В результате выполняется

.

1. При получаем ортогональность

.

2. При разлагаем в ряд

, ,

получаем

.

Сравниваем

с равенством (2.4)

.

Для нормированных функций получаем (9.39)

.