Производные и дифференциалы.
1.1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму. «Производная от суммы равна сумме производных».2). Представим функцию в виде степеней аргумента х: .
3). Вспомним подходящие формулы дифференцирования y = xn,y’= nxn-1. 4). Применим формулы к заданной функции5). Сформулируем окончательный результат:
2. Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму. «Дифференциал от суммы равен сумме дифференциалов»,т.е.:.
Вспомним подходящие формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = sinxy’= -cosx.Применим формулы к заданной функции:
Сформулируем окончательный результат:
3. 1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = cosxy’= -sinx . 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:
4. 1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомните правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования : .3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = cosxy’= =-sinx. 4). Применим формулы к заданной функции:.5). Сформулируем окончательный результат:
5. 1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомним правило получения производной от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1.4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:
6.1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомним правило получения дифференциала от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1 ; y = cosxy’= -sinx ; y = sinxy’= cosx . 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:
7. 1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомнм правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x);2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = lnxy’= 1/x. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:
8.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: .3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = sinxy’= cosx; y =exy’ = ex4). Применим формулы к заданной функции: .5). Сформулируем окончательный результат, воспользовавшись определением дифференциала:
9.1). Идентифицируем функцию как частное от деления алгебраической суммы элементарных функций на произведение элементарных функций. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x);и 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = sinxy’= cosx; y = lnxy’ = 1/x. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:
10.1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на произведение постоянной и элементарной функции. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций и от частного: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); и . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:
3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = ctgxy’= -1 /sin2x; y = lgxy’ = 1/(x · ln10).4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат вспомнив, что дифференциал функции: dy = y’dx:
11. 1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от алгебраической суммы, от произведения элементарных функций и от частного элементарных функций:y = u(x) + v(x); y’ = u´(x) +v´(x);y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´(x)u(x);и .
2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:. 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = sinxy’= cosx; y = cosxy’ = - sinx.4). Применим формулы к заданной функции: 5).Сформулируемокончательный результат:
12.1). Идентифицируем функцию как частное от деления алгебраической суммы элементарных функций на алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от алгебраической суммы элементарных функций: и y = u(x) + v(x); y’ = u(x) +v´(x).
2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1 . 4). Применим формулы к заданной функции: 5). Сформулируем окончательный ответ, воспользовавшись определением дифференциала.
Ответ: dy = y’dx;
13.1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумм у произведений элементарных функций. Вспомним правила получения производной от суммы и от произведения элементарных функций:y = u(x) + v(x); y’ = u´(x) +v´(x);y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x). 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный ответ:
14. 1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от суммы и от произведения элементарных функций: y = u(x) + v(x); y’ = u´(x) +v´(x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1 ;y = tgxy’ = 1/cos2x. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат, вспомнив определение дифференциала:
15.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´(x)u(x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = ctgxy’= - 1/sinx; y = exy’= ex. 4). Применим формулы к заданной функции: 5). Сформулируем окончательный результат:
16.1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомните правило получения дифференциала от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1 . 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:
17
18..
19.;
.
20.1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на произведение постоянной и элементарной функции. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций и от частного: y = u(x) · v(x); y’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x);
и ; f(x) = a · y(x) = a · y’(x). 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xny’= nxn-1; y = cosxy’= - sinx; y = lnxy’ = 1/x
4). Применим формулы к заданной функции:
5). Сформулируемответ, вспомнив, что дифференциал функции: dy = y’dx:
21..
22.
23..
24.
25. Представим функцию в виде:где .По правилу нахождения производной сложной функции:или.
26. 1). Скорость изменения функции (в данном случае функция - сила электрического тока) определяется её производной, которая, по сформулированному закону, должна быть наибольшей по величине. 2). Поскольку требуется построить график, то следует обратиться к геометрическому смыслу производной. Геометрически производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси независимой переменной - времени. 3). Тангенс будет стремиться к бесконечности, когда угол стремится к π/2. 4). Проведём изоклину с максимально возможным тангенсом наклона. Получаем перпендикуляр к оси времени в качестве переднего фронта импульса тока.
27. Рассмотрим амплитуду как функцию частоты вынуждающей силы Ω и обратим внимание на то, что от Ω зависит знаменатель. Следовательно, минимум выражения в знаменателе соответствует максимуму амплитуды.
Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе как функцию частоты вынуждающей силы и проанализируем эту функцию на условия минимума. Для чего получим выражение для производной этой функции.
Необходимое условие экстремального значения: имеет три решения первое очевидно ─ 1) ; второе и третье найдём, решая уравнение: .
2) ,
3)
Решение 2) отбрасываем так, как частота колебаний не может быть отрицательной. Сформулируем условие минимума:
Для , учитывая, что при колебаниях, получаем , а это соответствует максимуму знаменателя формулы:
При вторая производная:
> 0
и знаменатель формулы: минимален.
Следовательно, резонансной частотой является: иначе: .
28. Для определения амплитуды при резонансе подставим найденное значение резонансной частоты (см. задачу 27)
в формулу
В случае отсутствия затухания: и
29. .
- I. Материалы ко второму этапу экзамена.
- Тема №1:«дифференциальное и интегральное исчисления»
- 1. Если производные двух функций тождественно равны, то сами функции
- 26. Если f(X) является одной из первообразных для данной функции f(X), то самое общее выражение, для первообразной имеет вид
- 3. Уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, классифицируется как
- 5. Дифференциальное уравнение относится к
- 6. Особым решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка является ….
- 7. Общим решением дифференциального уравнения будет
- Тема 3. «теория вероятностей и мат.Статистика»
- II. Материалы к собеседованию. Производные и дифференциалы.
- Интегралы. Неопределённые интегралы.
- Определённые интегралы.
- Дифференциальные уравнения.
- Теория вероятностей и математическая статистика.
- 13. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- 15. Случайная величина принимает значения: -0,10; 0,00; 0,10; 0,30; с равными вероятностями. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
- 20. Задана функция плотности случайной величины, распределенной по нормальному закону:
- 61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найдите вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
- Ответы, указания, решения. Тестовые задания. Тема №1: «Дифференциальное и интегральное исчисления»
- Тема №3. «Теория вероятностей и мат.Статистика»
- Производные и дифференциалы.
- Частные производные. Применение дифференциального исчисления в теории ошибок измерений.
- Скалярное поле. Производные по направлению. Градиент.
- Интегралы. Неопределённые интегралы.
- Определённые интегралы.
- Дифференциальные уравнения.
- Теория вероятностей и математическая статистика.
- Справочные материалы
- Оглавление