Сб КИМов ВМ

Производные и дифференциалы.

1.1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму. «Производная от суммы равна сумме производных».2). Представим функцию в виде степеней аргумента х: _.

3). Вспомним подходящие формулы дифференцирования y = xⁿ,y^’= nxⁿ^-1. 4). Применим формулы к заданной функции5). Сформулируем окончательный результат:

2. Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму. «Дифференциал от суммы равен сумме дифференциалов»,т.е.:.

Вспомним подходящие формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = sinxy^’= -cosx.Применим формулы к заданной функции:

Сформулируем окончательный результат:

3. 1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = cosxy^’= -sinx . 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:

4. 1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомните правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования : .3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = cosxy^’= =-sinx. 4). Применим формулы к заданной функции:.5). Сформулируем окончательный результат:

5. 1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомним правило получения производной от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1.4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:

6.1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомним правило получения дифференциала от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1 ; y = cosxy^’= -sinx ; y = sinxy^’= cosx . 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:

7. 1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомнм правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x);2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = lnxy^’= 1/x. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:

8.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: .3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = sinxy^’= cosx; y =e^xy^’ = e^x4). Применим формулы к заданной функции: .5). Сформулируем окончательный результат, воспользовавшись определением дифференциала:

9.1). Идентифицируем функцию как частное от деления алгебраической суммы элементарных функций на произведение элементарных функций. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x);и 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = sinxy^’= cosx; y = lnxy^’ = 1/x. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:

10.1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на произведение постоянной и элементарной функции. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций и от частного: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x); и . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:

3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = ctgxy^’= -1 /sin²x; y = lgxy^’ = 1/(x · ln10).4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат вспомнив, что дифференциал функции: dy = y^’dx:

11. 1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от алгебраической суммы, от произведения элементарных функций и от частного элементарных функций:y = u(x) + v(x); y^’ = u´(x) +v´(x);y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´(x)u(x);и .

2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования:. 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = sinxy^’= cosx; y = cosxy^’ = - sinx.4). Применим формулы к заданной функции: 5).Сформулируемокончательный результат:

12.1). Идентифицируем функцию как частное от деления алгебраической суммы элементарных функций на алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от алгебраической суммы элементарных функций: и y = u(x) + v(x); y^’ = u(x) +v´(x).

2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1 . 4). Применим формулы к заданной функции: 5). Сформулируем окончательный ответ, воспользовавшись определением дифференциала.

Ответ: dy = y^’dx;

13.1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумм у произведений элементарных функций. Вспомним правила получения производной от суммы и от произведения элементарных функций:y = u(x) + v(x); y^’ = u´(x) +v´(x);y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x). 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный ответ:

14. 1). Идентифицируем функцию как алгебраическую сумму элементарных функций. Вспомним правила получения производной от суммы и от произведения элементарных функций: y = u(x) + v(x); y^’ = u´(x) +v´(x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1 ;y = tgxy^’ = 1/cos²x. 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат, вспомнив определение дифференциала:

15.1). Идентифицируем функцию как произведение элементарных функций. Вспомним правило получения производной от произведения элементарных функций: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´(x)u(x); 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = ctgxy^’= - 1/sinx; y = e^xy^’= e^x. 4). Применим формулы к заданной функции: 5). Сформулируем окончательный результат:

16.1). Идентифицируем функцию как частное элементарных функций. Вспомните правило получения дифференциала от частного элементарных функций: . 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: . 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1 . 4). Применим формулы к заданной функции: . 5). Сформулируем окончательный результат:

18..

19.;

20.1). Идентифицируем функцию как частное от деления произведения элементарных функций на произведение постоянной и элементарной функции. Вспомним правила получения производной от произведения элементарных функций и от частного: y = u(x) · v(x); y^’ = u´(x) · v(x) +v´u(x) (x);

и ; f(x) = a · y(x) = a · y^’(x). 2). Представим функцию в виде удобном для дифференцирования: 3). Вспомним подходящие для данного случая основные формулы дифференцирования: y = xⁿy^’= nxⁿ^-1; y = cosxy^’= - sinx; y = lnxy^’ = 1/x

4). Применим формулы к заданной функции:

5). Сформулируемответ, вспомнив, что дифференциал функции: dy = y^’dx:

21..

22.

23..

24.

25. Представим функцию в виде:где .По правилу нахождения производной сложной функции:или.

26. 1). Скорость изменения функции (в данном случае функция - сила электрического тока) определяется её производной, которая, по сформулированному закону, должна быть наибольшей по величине. 2). Поскольку требуется построить график, то следует обратиться к геометрическому смыслу производной. Геометрически производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси независимой переменной - времени. 3). Тангенс будет стремиться к бесконечности, когда угол стремится к π/2. 4). Проведём изоклину с максимально возможным тангенсом наклона. Получаем перпендикуляр к оси времени в качестве переднего фронта импульса тока.

27. Рассмотрим амплитуду как функцию частоты вынуждающей силы Ω и обратим внимание на то, что от Ω зависит знаменатель. Следовательно, минимум выражения в знаменателе соответствует максимуму амплитуды.

Рассмотрим подкоренное выражение в знаменателе как функцию частоты вынуждающей силы и проанализируем эту функцию на условия минимума. Для чего получим выражение для производной этой функции.

Необходимое условие экстремального значения: имеет три решения первое очевидно ─ 1) ; второе и третье найдём, решая уравнение: .

2) ,

Решение 2) отбрасываем так, как частота колебаний не может быть отрицательной. Сформулируем условие минимума:

Для , учитывая, что при колебаниях, получаем , а это соответствует максимуму знаменателя формулы:

При вторая производная:

> 0

и знаменатель формулы: минимален.

Следовательно, резонансной частотой является: иначе: .

28. Для определения амплитуды при резонансе подставим найденное значение резонансной частоты (см. задачу 27)

в формулу

В случае отсутствия затухания: и

29. .

Содержание