4.2. Понятие обобщенной функции. Дельта-функция Дирака. Интегральное каноническое представление случайных процессов.
Обобщенной функцией называется предел последовательности однопараметрического семейства непрерывных функций.
Дельта-функция Дирака - это обобщенная функция, являющаяся результатом предельного перехода при в семействе функций
Среди свойств -функции отметим следующее:
1.
2.
3. Если f(t)- непрерывная функция, то
Случайный процесс Х(t), корреляционная функция которого имеет вид называется нестационарным «белым шумом». Если W(t1)=W - const, то Х(t)-стационарный «белый шум».
Как следует из определения, никакие два, даже сколь угодные близкие, сечения «белого шума» не коррелированны. Выражение W(t) называется интенсивностью «белого шума».
Интегральным каноническим представлением случайного процесса Х(t) называется выражение вида где - случайная центрированная функция; - неслучайная функция непрерывных аргументов
Корреляционная функция такого случайного процесса имеет вид:
.
Можно показать, что существует неслучайная функция G(λ) такая, что
где G(λ1) - плотность дисперсии; δ(х) - дельта-функция Дирака. Получаем
Следовательно, дисперсия случайного процесса Х(t):
.
- Конспект лекций по дисциплине «Теория случайных процессов»
- Тема 1. Основные понятия теории случайных процессов 2
- Тема 2. Элементы корреляционной теории случайных процессов 4
- Тема 3. Элементы случайного анализа 7
- ТеМа 4. Канонические разложения случайных процессов 9
- Глава 5. Стационарные cлучайные процессы 14
- Тема 6. Цепи Маркова 17
- Тема 1. Основные понятия теории случайных процессов
- 1.1. Определение случайного процесса. Основные подходы к заданию случайных процессов. Понятие реализации и сечения. Элементарные случайные процессы.
- 1.2. Некоторые классы и виды случайных процессов
- 1.1.6. Пуассоновские случайные процессы
- 1.1.7. Винеровский случайный процесс
- Тема 2. Элементы корреляционной теории случайных процессов
- 2.1. Понятие корреляционной теории случайных процессов
- 2.2. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Среднеквадратическое отклонение
- 2.3. Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства. Нормированная корреляционная функция
- 2.4. Взаимная корреляционная функция и нормированная взаимная корреляционная функция двух случайных процессов
- 2.5 Вероятностные характеристики суммы двух случайных величин
- Тема 3. Элементы случайного анализа
- 3.1. Сходимость и непрерывность
- 1. Классические виды сходимости
- 2. Сходимость по вероятности
- 3.2. Производная случайного процесса и ее свойства
- 3.3. Интеграл от случайного процесса и его свойства
- ТеМа 4. Канонические разложения случайных процессов
- 4.1. Понятие канонического разложения случайного процесса
- 4.2. Понятие обобщенной функции. Дельта-функция Дирака. Интегральное каноническое представление случайных процессов.
- 4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов
- Глава 5. Стационарные cлучайные процессы
- 5.1. Понятие стационарного случайного процесса. Стационарность в узком и широком смыслах
- 5.2 Свойства вероятностных характеристик стационарного случайного процесса
- 5.3. Стационарно связанные случайные процессы. Производная и интеграл от стационарного случайного процесса
- 5.4. Эргодические стационарные случайные процессы и их характеристики
- 5.5. Потоки событий
- Пуассоновский поток
- Тема 6. Цепи Маркова
- 6.1. Цепи Маркова.