1.5. Статистическая проверка статистических гипотез

Эмпирический вариационный ряд и его график - вариационная кривая - не позволяют с полной уверенностью судить о законе распределения совокупности, из которой взята выборка. На величине любого варьирующего признака оказывается влияние многочисленных, в том числе и случайных, факторов, искажающих картинку варьирования.

Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить ,что он имеет определённый вид (назовём его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А.. Таким образом, в этой гипотезе речь идёт о виде предполагаемого распределения. Есть гипотезы о предполагаемой величине параметра. Есть и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и т.д.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу.

Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н_о

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит Н_о

Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предложений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предложение.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного

числа простых гипотез.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость её проверки. Поскольку проверку проводят статистическими методами "её" называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Замечание. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через α; её называют уровнем значимости.

Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста есть риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближённое распределение которой известно. Эту величину обозначают через Т или Z, если она распределена нормально, F или V² - по закону Фишера-Спедекора, Т – по закону Стьюдента, χ² - по закону кси – квадрат и т.д. Поскольку при изложении материала вид распределения во внимание приниматься не будет, обозначим эту величину в целях общности через К.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частичные значения входящих в критерий величин и таким образом, получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением К_набл называют значение критерия, вычисленное по выборке.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевая

гипотеза отвергается.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Поскольку критерий К - одномерная случайная величина, все её значения (возможные) принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также является интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) К_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющему этому требованию.

Замечание 1. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что К_набл > К_кр, то нулевую гипотезу отвергают, если же К_набл < К_кр, то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Замечание 2. Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим К_кр не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики эксперимента). В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости α.

Замечание 3. Пусть нулевая гипотеза принята: ошибочно думать, что тем самым она доказана. Действительно, известно, что один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего утверждения, еще не доказывает его. Поэтому более правильно говорить: "данные наблюдений, согласуются с нулевой гипотезой, и, следовательно, не дает оснований её отвергнуть".

На практике для большей уверенности принятия гипотезы её проверяют другими способами или проверяют экспериментам, увеличив объем выборки.