1.3 .Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событийи условные вероятности наступления события А при наступлении событияH_i .

Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

.

Доказательство.

Т.к. события образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:

Т.к. события несовместны, то и событияAH_i тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

При этом

Окончательно получаем:

Теорема доказана.